Vektorer
Vektorer
Table of Contents
- Introduktion
- Vad ska vi lära oss?
- Definitioner
- Hur beskriver vi en vektor geometriskt?
- Addera vektorer
- Introduktion
- Polygonmetoden
- Parallellogrammetoden
- Andra räkneoperationer
- Subtrahera vektorer
- Multiplikation av en vektor med ett tal
- En vektors komposanter och koordinater
- Komposanter
- Koordinatform
- Addition på koordinatform
- Multiplikation med ett tal på koordinatform
- Längden på en vektor
- Vektorlängd
Vad ska vi lära oss?
Vad får du lära dig?
[size=100][b]Begrepp[/b][br][br][list][*]Beskriva vad en storhet är [br][/*][*]Beskriva vad en vektor är[br][/*][*]Identifiera några storheter som är vektorer [br][/*][*]Beskriva vad en skalär är [br][/*][*]Identifiera några storheter som är skalärer[/*][/list][br][b]Procedurer[br][/b][br][list][*]Grafiska metoder för att addera vektorer - Polygonmetoden och parallellogrammetoden[br][/*][*]Grafisk metod för att kunna multiplicera en vektor med en skalär[/*][*]Grafisk metod för att kunna bestämma den motsatta vektorn till en vektor [/*][*]Grafisk metod för att subtrahera vektorer [/*][*]Algebraiska metoder för att utföra motsvarande operationer [br][/*][*]Bestämma längden av en vektor med hjälp av Pythagoras sats[/*][*]Att kunna bestämma vinkeln mellan en vektor och positiva x-axeln.[/*][*]Ange en vektors komponenter i x-led och y-led[/*][/list][br][b]Resonemang[/b][list][*]Förklara sambandet mellan addition och subtraktion av en vektor [/*][*]Visa att den kommutativa lagen och den associativa lagen gäller för addition av[br]vektorer [/*][/list][br][br][br][/size][br][br][br]
Introduktion
Förflyttning som vektorer
Du går i riktning österut 2 km. Du vänder och går norrut i 1 km. Du vänder igen och går i riktning väster i 1 km. Vart har du hamnat relativt din startpunkt? Vi kan ta redapå detta genom att addera förflyttningsvektorerna.
Förflyttning med vektorer
Vilken riktning och storlek har vektorn som beskriver din position i F relativt startpunkten A?
Subtrahera vektorer
Hur definierar vi den motsatta vektorn?
Innan vi säger något om hur vi gör när vi subtraherar vektorer behöver vi definiera vad den motsatta vektorn är. [br][br]Låt oss titta på bilden igen nedan. [math]\vec{F_g}[/math] är tyngdkraften som verkar på äpplet. Om äpplet faller med konstant hastighet i luften så måste summan av krafterna som verkar på äpplet att vara noll. Luftmotståndet ger en kraft i motsatt riktning mot rörelseriktningen. [br][br]Pröva i appleten nedan att flytta på punkterna E och F så att friktionskraften balanserar tyngdkraften.
Balansera tyngdkraften med friktionskraft från luftmotståndet
Definition av motsatt vektor
Summan av en vektor [math]\vec{v}[/math] och dess motsatta vektor [math]-\vec{v}[/math], är noll, dvs [br][math]\vec{v}+\left(-\vec{v}\right)=0[/math].
Hur förhåller sig storleken och riktningen på friktionskraften och gravitationskraften i exemplet ovan? Vilken slutsats kan du dra om storleken och riktningen hos en vektor och dess motsatta vektor?
Subtrahera en vektor
Vad har då detta att göra med att subtrahera en vektor? Säg att vi vill utföra operationen [br][math]\vec{u}-\vec{v}[/math]. Detta är samma sak som att addera vektorn u och den motsatta vektorn till v, dvs[br][math]\vec{u}+\left(-\vec{v}\right)=\vec{u}-\vec{v}[/math].
Flytta på vektorna genom att ta tag i dess startpunkter. De streckade linjerna kan du flytta på genom att ta tag i en av ändpunkterna som är utritade.
Komposanter
En vektor kan delas upp i två komposanter
Ibland är det smidigt att kunna ange en vektor utan att rita den geometriskt. Vi kan då ange vektorn på koordinatform. [br][br]För att beskriva hur detta går till så behöver vi införa ett rätvinkligt koordinatsystem i vårt rutnät och placera startpunkten för vektorn vi vill beskriva i origo. [br][br]Vi delar upp vektorn i två komposanter. Den ena är riktad längs med x-axeln och den andra är riktad längs med y-axeln. [br][br] [br]
Undersök! Vad händer med komposanterna när du ändrar på vektorns ändpunkt?
Hur kan du övertyga dig om att summan av komposanterna motsvarar vektorn? Vilken metod kan du använda?