Integral Dupla

Integral Dupla
[justify]A integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano que contém seu domínio.Segundo Anton (2014, p.1039, V.II) “[...] uma integral dupla de uma função f(x,y) é definida em uma região fechada finita R do plano xy.[...]”[/justify]
Superfície de Integração e Região de Integração
Região de integração
Volume entre a região e a superfície
Volume por construção de prismas
[b][center]Questões:[/center][/b]
1)          (Gonçalves,2007, p.242)   [math]∫_{0}^{1}∫_{x^{3}}^{x^{2}}f x , y d y d x [/math]
Integral dupla 1
2)          (Gonçalves,2007, p.242)   [math]∫_{- 1}^{3}∫_{0}^{- x^{2}+ 2 x + 3}f x , y d y d x [/math]
Integral dupla 2
3)           (Gonçalves,2007, p.242)   [math]∫_{0}^{1}∫_{2 x}^{3 x}f x , y d y d x [/math]
Integral dupla 3
4)          (Gonçalves, 2007, p.242)   [math]∫_{0}^{2}∫_{0}^{y^{2}}f x , y d x d y [/math]
[justify]5)         (Gonçalves,2007, p.242)   [math]∬_{R}^{}8 - x - y   d x   d y [/math], onde R éa região delimitada por  [math]y =   x^{2}[/math]  e  [math]y =   4 [/math][/justify]
[justify]6)           (Gonçalves,2007, p.242)   [math]∬_R^{ }\left(\sqrt{x}sen\left(\sqrt{xy}\right)\right)dxdy[/math], onde R éa região delimitada por  [math]y =   0 [/math] ,  [math]x =   \frac{π}{2}      [/math]e  [math]y =   \sqrt{x}  [/math].[/justify]
[justify]7)          (Gonçalves,2007, p.243)   [math]∬_{R}^{}x^{2}+   y^{2}  d x   d y [/math], onde R éa região delimitada por  [math]y =   0 [/math] ,  [math]x =   4     [/math]e  [math]y =   \sqrt{x}  [/math].[/justify]
Integral dupla 7
8)          (Gonçalves,2007, p.243)   [math]∬_{R}^{}\frac{x^{2}}{y^{2}}d x   d y [/math], onde R éa região delimitada por  [math]y =   x [/math] ,  [math]x =   2     [/math]e  [math]y =   \frac{1}{x}  [/math].
[justify]9)          (Gonçalves,2007, p.243)   [math]∬_{R}^{}x + y   d x   d y [/math], onde R éa região delimitada por  [math]y =   x^{2}+ 1 [/math] ,  [math]y =   - 1 - x^{2}[/math] ,  [math]x =   - 1 [/math] e [math]x =   1   [/math].[/justify]
[justify]10)           (Gonçalves, 2007, p.243)   [math]∬_{R}^{}x   d x   d y [/math], onde R éa região delimitada por  [math]y =   - x [/math] ,  [math]y =   4 x [/math]  e  [math]y =   \frac{3}{2}  x +   \frac{5}{2}[/math]  .[/justify]
[b][center]Questões de Área com Integral Dupla:[/center][/b]
[center][math]∬_{R}^{}d x   d y             o u             ∬_{R}^{}d y   d x [/math][/center][center][/center]
[justify]1)          (Gonçalves,2007, p.263)   Calcular a área da região R delimitada por [math]x=y^2+1[/math] e [math]y + x = 3 [/math] .[/justify]
[justify]2)          (Gonçalves,2007, p.271)   Calcular a área da região R delimitada por  [math]y =   x^{3}[/math] , [math]x +   y = 2 [/math] e  [math]y =   0 [/math].[/justify]
[justify] 3)          (Gonçalves,2007, p.271)   Calcular a área da elipse  [math]  x^{2}+ 4 y^{2}- 4 x = 0 [/math].[/justify]
[justify]4)          (Gonçalves,2007, p.271)   Calcular a área da região delimitada por [math]  y = \sqrt{4   -   x^{2}}  [/math], [math]y =   x [/math]  e  [math]y = 2 x [/math].[/justify]
Integral Dupla Área 4
5)          (Gonçalves,2007, p.271)   Calcular a área da região delimitada por [math]  y = 2 - \left( x - 2 \right)^{2}  [/math]  e  [math]y =   \frac{x^{2}}{4}[/math] .
Integral Dupla Área 5
[b][center]Questões de Volume com Integral Dupla:[/center][/b]
[justify]1)          (Gonçalves,2007, p.256) Calcule o volume do sólido acima do plano [math]x y [/math] delimitado por [math]z =   4 - 2 x^{2}- 2 y^{2}[/math].[/justify]
[justify]2)          (Gonçalves,2007, p.258) Calcule o volume do sólido abaixo do plano [math]x y [/math] delimitado por [math]z =   x^{2}+   y^{2}- 9 [/math].[/justify]
[justify]3)          (Gonçalves,2007, p.259) Calcule o volume do sólido de limitado por [math]z =   2 x^{2}+   y^{2}[/math]  e  [math]z =   4 - 2 x^{2}- y^{2}[/math].[/justify]
[justify]4)          (Gonçalves,2007, p.261) Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros  [math]  x^{2}+   y^{2}= 16 [/math]  e [math]  x^{2}+   z^{2}= 16 [/math].[/justify]
Integral Dupla Volume 4
5)         (Gonçalves,2007, p.270) Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:[br][br] [br]a)         [math]y =   x^{2}[/math]  , [math]y =   4 [/math] ,  [math]z =   0 [/math] , [math]z =   4 [/math]
Integral Dupla Volume 5 a
[justify]b)         [math]z =   4 x^{2}[/math] , [math]z =   0 [/math], [math]x =   0 [/math] ,[math]  x =   2 [/math], [math]y =   0 [/math] e [math]y =   4 [/math].[/justify]
[justify]c)         [math]z =   1 -   x^{2}[/math], [math]z =   0 [/math] , [math]x + y =   4 [/math]  e  [math]y =   0 [/math].[/justify]
[justify]d)         [math]x^{2}+ y^{2}= 1 [/math], [math]z = 0 [/math] , [math]z = x^{2}+   y^{2}[/math].[/justify]
[justify]e)         [math]x^{2}+ y^{2}= 4 [/math], [math]y + z = 8 [/math]  e  [math]z = 0 [/math].[/justify]
[justify]f)         [math]z   =   x^{2}+   1 [/math] , [math]z = 0 [/math] , [math]y = 0 [/math] , [math]x = 0 [/math] ,  [math]x = 4 [/math] e [math]y = 5 [/math][/justify]
[justify]g)         [math]z = 0 [/math] , [math]x^{2}+ y^{2}= 16 [/math]  e [math]z = 10 + x [/math] .[/justify]
Integral Dupla Volume 5 g
h)         [math]x^{2}+ y^{2}- 4 x - 6 y     + 4 = 0 [/math] , [math]z = 0 [/math]  e  [math]z = 5 y [/math].
[justify]4)          (Gonçalves,2007, p.261) Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros  [math]  x^{2}+   y^{2}= 16 [/math]  e [math]  x^{2}+   z^{2}= 16 [/math].[/justify]
Integral Dupla nº 5

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