Dato un [b]triangolo qualsiasi[/b] con vertici [i][math]A[/math][/i], [i][math]B[/math][/i], [i][math]C[/math][/i] e lati opposti [i][math]a[/math][/i], [i][math]b[/math][/i], [i][math]c[/math][/i] esiste (a meno di fissare un verso di percorrenza dei vertici) un [b]unico punto [i][math]P[/math][/i][/b] tale che i segmenti [i][math]AP[/math][/i], [i][math]BP[/math][/i] e [i][math]CP[/math][/i] formano lo stesso angolo con i lati [i][math]c[/math][/i], [i][math]a[/math][/i], [i][math]b[/math][/i], cioè:[br][br][math]\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA[/math][br][br]Inoltre, detto [math]\omega[/math] tale angolo e [math]\alpha[/math], [math]\beta[/math] e [math]\gamma[/math] gli angoli corrispondenti ai vertici [math]A[/math], [math]B[/math] e [math]C[/math], vale la seguente uguaglianza:[br][br][math]\cot\omega=\cot\alpha+\cot\beta+\cot\gamma[/math]

Prima di dimostrare il teorema di Brocard enunciamo e dimostriamo il [b]teorema di Ceva[/b], il quale fornisce la condizione necessaria e sufficiente affinché tre rette passanti per i vertici di un triangolo siano concorrenti.

Consideriamo un triangolo qualsiasi di vertici [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] e tre punti [math]D[/math], [math]E[/math] ed [math]F[/math] scelti rispettivamente sui lati [math]BC[/math], [math]AC[/math] e [math]AB[/math]. Ne consegue che le rette [math]AD[/math], [math]BE[/math] e [math]CF[/math] sono concorrenti se e solo se è soddisfatta la relazione[br][br][math]\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=1[/math]

Attraverso il teorema dei seni, la relazione[br][br][math]\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=1[/math][br][br]può essere riscritta come:[br][br][math]\frac{\sin (BAD)}{\sin (DAC)}\frac{\sin (CBE)}{\sin (EBA)}\frac{\sin (ACF)}{\sin (FCB)}=1[/math][br][br]Supponiamo che le rette [math]AD[/math], [math]BE[/math] e [math]CF[/math] concorrano nel punto [math]X[/math]. Calcoliamo ora il rapporto tra le aree dei triangoli [math]BAX[/math] e [math]XBA[/math]:[br][br][math]\frac{[BAX]}{[XAC]}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AX\cdot\sin(BAX)}{\frac{1}{2}AX\cdot AC\cdot\sin(XAC)}=\frac{AB\sin(BAD)}{AC\sin(DAC)}[/math][br][br]Similmente:[br][br][math]\frac{[CBX]}{[XBA]}=\frac{BC\sin(CBE)}{AB\sin(EBA)}[/math][br][br][math]\frac{[ACX]}{[XCB]}=\frac{CA\sin(ACF)}{BC\sin(FCB)}[/math][br][br]Da queste relazioni segue:[br][br][math]\frac{\sin(BAD)}{\sin(DAC)}\frac{\sin(CBE)}{\sin(EBA)}\frac{\sin(ACF)}{\sin(FCB)}=[/math][math]\frac{AB\sin(BAD)}{AC\sin(DAC)}\frac{BC\sin(CBE)}{AB\sin(EBA)}\frac{AC\sin(ACF)}{BC\sin(FCB)}=[/math][br][br][math]=\frac{[BAX]}{[XAC]}\frac{[CBX]}{[XBA]}\frac{[ACX]}{[XCB]}=1[/math][br][br]Allo stesso modo è possibile dimostrare il viceversa.

Applichiamo il teorema di Ceva nella sua forma trigonometrica ad un triangolo [math]ABC[/math]. Per fare in modo che le rette per i vertici siano concorrenti in P deve valere:[br][br][math]\sin(PAB)\sin(PBC)\sin(PCA)=\sin(PAC)\sin(PBA)\sin(PCB)[/math][br][br]Affinché i tre angoli in rosso siano congruenti, la relazione di Ceva diventa:[br][br][math]\sin^3(\omega)=\sin(\alpha-\omega)\sin(\beta-\omega)\sin(\gamma-\omega)[/math][br][br]Sviluppando in tale relazione i seni a secondo membro e successivamente dividendo per [math]\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)\sin^3(\omega)[/math] si ottiene:[br][br][math]\frac{1}{\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)}=(\cot(\omega)-\cot(\alpha))(\cot(\omega)-\cot(\beta))(\cot(\omega)-\cot(\gamma))[/math][br][br]ovvero[br][br][math]\cot^3(\omega)-U\cot^2(\omega)+V\cot(\omega)-\cot(\alpha)\cot(\beta)\cot(\gamma)=\frac{1}{\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)}[/math][br][br]dove[br][br][math]U=\cot(\alpha)+\cot(\beta)+\cot(\gamma)[/math][br][math]V=\cot(\alpha)\cot(\beta)+\cot(\alpha)\cot(\gamma)+\cot(\beta)\cot(\gamma)[/math][br][br]Per ABC triangolo qualsiasi, valgono inoltre le seguenti relazioni goniometriche:[br][br][math]\cot(\alpha)\cot(\beta)+\cot(\alpha)\cot(\gamma)+\cot(\beta)\cot(\gamma)=1[/math][br][br][math]\cot(\alpha)+\cot(\beta)+\cot(\gamma)-\cot(\alpha)\cot(\beta)\cot(\gamma)=\frac{1}{\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma)}[/math][br][br]per le quali l'equazione diventa:[br][br][math]\cot^3(\omega)-U\cot^2(\omega)+\cot(\omega)-U=0[/math][br][br]Scomponendo tale espressione si ottiene:[br][br][math](\cot(\omega)-U)(\cot^2(\omega)+1)=0[/math][br][br]che è verificata per [math]\cot(\omega)=U.[/math]