Data una funzione [math]\large\bf y=f(x)[/math] [b]continua[/b] nell'intervallo [math]\large\bf [a,b]\subset D\left(f\right)[/math].[br][list=1][*]Si suddivide l'intervallo [math]\large\bf [a,b][/math] in [b]n[/b] intervalli uguali [math]\large\bf [x_i, x_{i+1}]_{\left(i=1,\dots,n\right)}[/math], con [math]\large\bf a=x_1[/math] e [math]\large\bf b=x_{n+1}[/math], di ampiezza [math]\large\bf \Delta x=\frac{b-a}{n}[/math].[/*][*]Visto che la funzione è continua in [math]\large\bf [a, b][/math], lo sarà anche negli n sotto-intervalli, quindi in ognuno vale il [b]Teorema di Weierstrass[/b], ovvero esiste il [b]minimo[/b] e [b]massimo assoluto[/b] della funzione per ogni intervallo, ovvero:[br][center][math]\large\bf \exists\; m_i=\min_{\normalsize x\in\left[x_i,x_{i+1}\right]}\left(f(x)\right)\quad\quad \exists\; M_i=\max_{\normalsize x\in\left[x_i,x_{i+1}\right]}\left(f(x)\right)\quad\left(i=1,\dots,n\right)[/math][/center][/*][*]Si considerano i rettangoli aventi come base [math]\large\bf \Delta x[/math] e per altezza rispettivamente i minimi [math]\large\bf m_i[/math] per quelli inscritti, i massimi [math]\large\bf M_i[/math] per quelli circoscritti, ed aventi rispettivamente aree:[br][center][math]\large\bf m_i\cdot\Delta x\quad\quad M_i\cdot\Delta x\quad\left(i=1,\dots,n\right)[/math][/center][/*][*]Pertanto, sommando le aree rispettivamente degli n [b]cilindri inscritti[/b] e degli n [b]cilindri circoscritti[/b], vale quanto segue:[center][math]\large\bf \sum_{i=1}^n m_i\cdot\Delta x\le A\le\sum_{i=1}^n M_i\cdot\Delta x[/math][/center]dove [b]A[/b] è la misura della superficie compresa tra il diagramma della funzione e l'[b]asse x[/b] nell'intervallo [math]\large\bf [a,b][/math].[/*][/list]

Data una funzione [math]\large\bf y=f(x)[/math] [b]continua[/b] nell'intervallo [math]\large\bf [a,b]\subset D\left(f\right)[/math], e la suddivisione in [b]n[/b] intervalli uguali [math]\large\bf [x_i, x_{i+1}]_{\left(i=1,\dots,n\right)}[/math], con [math]\large\bf a=x_1[/math] e [math]\large\bf b=x_{n+1}[/math], e siano [math]\large\bf s_n=\sum_{i=1}^n m_i\cdot\Delta x[/math] e [math]\large\bf S_n=\sum_{i=1}^n M_i\cdot\Delta x[/math] le aree rispettivamente del pluri-rettangolo inscritto e circoscritto alla curva della funzione; se:[center][math]\Large\bf\exists\lim_{n\to+\infty}s_n=\lim_{n\to+\infty}S_n=S\in\mathbb{R}[/math][/center]si dice che la funzione [math]\large\bf y=f(x)[/math] ammette [b]integrale definito[/b] nell'[b]intervallo d'integrazione[/b] [math]\large\bf [a,b][/math] uguale a tale limite e si scrive:[br][center][math]\Large\bf\int_a^bf\left(x\right)\ dx[/math][/center]

L'integrale definito rappresenta l'area della parte di piano compresa tra il grafico della curva e l'asse x all'interno dell'[b]intervallo d'integrazione[/b] [math]\large\bf [a,b][/math] con le seguenti note:[br][list][*][b]Sopra l'asse x[/b]: Se [math]\large\bf f(x)>0[/math], l'integrale è [b]positivo[/b] (Area positiva).[/*][*][b]Sotto l'asse x[/b]: Se [math]\large\bf f(x)<0[/math], l'integrale è [b]negativo[/b] (Area negativa).[/*][/list]