Lineare Algebra - Einführung Vektoren
Einführung in die Vektorrechnung in der Jahrgangsstufe EF.
Sisällysluettelo
- Grundlagen
- Punkte im Raum
- Vektoren als Weg und Richtung
- Geraden in Parameterform
- Ebenen in Parameterform
- Ebenen in Parameterform aufstellen
Punkte im Raum
Aus der Sekundarstufe I kennst du bereits [i]zweidimensionale Koordinatensysteme[/i]. Achte bei der Erstellung darauf, dass die Achsen senkrecht zueinander sind. Die x-Achse zeigt [b]zur Seite[/b] und die y-Achse [b]nach oben[/b]. [br][i]Punkte[/i] sind [b]feste Orte[/b]. Ihre Position ist festgeschrieben. Sie werden mit großen Buchstaben benannt und in der Klammer stehen die Koordinaten. [math]\Longrightarrow[/math] A(x|y) .[br]Unten im Beispiel kannst du noch einmal ausprobieren, was sich bei x- und y-Koordinate ändert.
Punkte in 2D
Soweit so gut! Jetzt kommt die [i]dritte Dimension[/i] dazu. Stell dir vor, du möchtest beschreiben, wo der Beamer in deinem Klassenraum hängt. Dann benötigst du nicht nur die [i]Höhe[/i] und die [i]Breite[/i], sondern auch die [i]Tiefe[/i] im Raum! [math]\Longrightarrow[/math] A(x|y|z)[br]Da dein Heft leider nicht dreidimensional ist, musst du nun ein eigentlich dreidimensionales Objekt auf ein zweidimensionales Blatt Papier zeichnen. Dafür bedient man sich eines Tricks aus der Kunst: dem [i]Schrägbild[/i]. Die dritte Achse wird einfach nach schräg vorne gezeichnet, genau durch die Ecken der Kästchen![br][br]Und jetzt musst du dich umgewöhnen: x wird [b]nach vorne[/b] gezeichnet, y [b]zur Seite[/b] und z [b]nach oben[/b]! Wahlweise kann man die Koordinaten x,y und z auch mit x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], und x[sub]3 [/sub]bezeichnen.
3D Koordinatensystem
Wenn du Punkte im[i] dreidimensionalen[/i] zeichnest, kannst du aufgrund der [i]Perspektive[/i] jetzt nicht mehr die Achsen direkt ablesen! Gehe stattdessen Koordinate für Koordinate durch und zähle die Kästchen ab![br]Für A(2|4|-1) also 2 Einheiten [b]nach vorne[/b], 4 [b]nach rechts[/b] und 1 [b]nach unten[/b].[br][br]Probiere im Applet einmal aus, was passiert, wenn du die einzelnen Koordinaten veränderst! Die gestrichelten Linien zeigen dir die jeweiligen Schritte entlang der Koordinatenachsen x, y und z!
Punkte in 3D
Uneindeutige Punkte
Teste einmal selbst, warum du zwar Punkte eindeutig eintragen kannst, aber einen eingetragenen Punkt NICHT eindeutig ablesen kannst![br][br]a) Trage mithilfe des Applets oben die Punkte B(4|1|1) und C(-2|-2|-2) ein und notiere deine Beobachtung![br][br]b) Stelle nun den Punkt A(0|2|1) ein. Finde nun zwei weitere Punkte, die aufgrund der Perspektive an der gleichen Stelle gezeichnet werden müssten (wie die Beispiele in A) und notiere deren Koordinaten. [br][br][br][br]
Ebenen in Parameterform aufstellen
Verschiedene Möglichkeiten zur Aufstellung von Ebenengleichungen
Auf dieser Seite soll dir noch einmal graphisch verdeutlicht werden, wie man aus unterschiedlichen Objekten eine Ebenengleichung im [math]\mathbb{R}^3[/math] erstellen kann. [br][br]Schaue dir die Situationen aus allen Perspektiven an, indem du mit der Maus in das Applet klickst und das Koordinatensystem verschiebst. Mit dem Kreis oben rechts bei jedem Applet lässt sich dieses in die Ausgangssituation zurück versetzen.[br][br]Um die Ebenen anzuzeigen oder auszublenden, musst du in den Applets in der linken Spalte den Kreis bei "Ebene" anklicken.