Auf der Möbiusquadrik wird ein Punkt [math]\infty\equiv\mathbf{\vec{p}_\infty}[/math] ausgezeichnet. Die Möbiusabbildungen mit Fixpunkt [math]\infty[/math] bilden eine Untergruppe, deren LIE-Algebra besteht aus allen [math]\mathbf{\vec{g}}\in \mathcal{G} \mbox{ mit }\mathbf{\vec{g}}\bullet\mathbf{\vec{p}_\infty}=0[/math]: die Vektoren in [math]\large\mathcal{G}[/math], die [math]\mathbf{\vec{p}_\infty}[/math] als Pol besitzen, bilden eine LIE-Unteralgebra. "Geraden" dieser ebenen Geometrie sind die Kreise durch [math]\infty[/math]. Die [i]äquiforme Gruppe[/i] besteht aus Drehstreckungen, speziell aus Drehungen, bzw. Streckungen mit einem Punkt als Zentrum, Verschiebungen und Spiegelungen und Gleitspiegelungen an "Geraden". [br]Wir ergänzen zu einem euklidischen Koordinatensystem (s. [b]5.10[/b])  [math]\mathbf\vec{p}_\infty, \mathbf\vec{g}_0,\mathbf\vec{p}_0[/math] und zerlegen den Geradenraum [math]\large\mathcal{ G}= \large\mathcal{P}_\infty\oplus_{\mathbb{R}} \large\mathcal{G}_0 [/math]. Hierbei bestehe [math]\large\mathcal{P}_\infty[/math] aus allen Geraden durch [math]\infty[/math]: [math]\large\mathcal{P}_\infty := \left\{ \mathbf\vec{g} \in \mathcal{G}\; | \; {\mathbf\vec{g}\, }^2\le0,\mathbf\vec{g}\bullet \mathbf\vec{p}_\infty=0\right\}[/math]. [math]\large\mathcal{G}_0 \equiv \large\mathcal{K}_0[/math] bestehe aus allen Geraden, die in der Tangentialebene von [math]0 \equiv \mathbf\vec{p}_0[/math] liegen. [br]Die Schnittgeraden aus [math]\large\mathcal{P}_\infty[/math] identifizieren wir in inhomogenen Koordinaten [math] \mathbf\vec{g}(z):=z\cdot \mathbf\vec{p}_\infty + \mathbf\vec{g}_0 [/math] mit den "Punkten" [math]z=x+i\cdot y\in \mathbb{C}[/math] der Gauss-schen Zahlenebene, dh. mit den "Punkten" der Ebene. [br]Die "Geraden" der Ebene sind die Geraden aus [math]\large\mathcal{G}_0 [/math] mit den Koordinaten [math] \mathbf\vec{g}\left(u,\lambda \right) :=u\cdot \mathbf\vec{p}_0 +\lambda\cdot i \cdot \mathbf\vec{g}_0 \mbox{ mit }u=\alpha +i\cdot \beta\in \mathbb{C} \mbox{ und }\lambda \in \mathbb{R}[/math]. Der "Vektor" [math]\overline u[/math] ist Richtungsvektor der Geraden,[br] [math]i\cdot \overline u [/math] ist orthogonal zur Geradenrichtung, [math]\frac{\lambda}{\left|u\right|}[/math] ist der Abstand der Geraden zum Ursprung.[br]Die angegebene Zerlegung von [math]\large\mathcal{ G}[/math] beschreibt im Grunde wieder die [i]stereographische Projektion[/i] in Geradenkoordinaten.[br]Man kann [math]\large\mathcal{P}_\infty[/math] auch als reelle projektive Ebene deuten, die Fernpunkte sind die Tangenten in [math]\infty[/math]. Dual dazu ist die reelle projektive Ebene der Geraden in [math]\large\mathcal{G}_0 [/math], [math]i\cdot \mathbf\vec{g}_0[/math] repräsentiert die Ferngerade.[br][br]Wirklich [i]invariant[/i] in dieser Geometrie ist nur der Punkt [math]\infty[/math]. Jede andere komplexe Skalierung von [math]\mathbf{\vec{p}_\infty}[/math] und jede andere Wahl des euklidischen KOS und damit der Zerlegung [math]\large\mathcal{ G}= \large\mathcal{P}_\infty\oplus_{\mathbb{R}} \large\mathcal{G}_0 [/math] führt aber zu isomorphen Verhältnissen.[br][br][b]Inzidenz, Verbindungsgerade, Schnittpunkt, Schnittwinkel[br][/b][list][*]Ein Punkt [math] \mathbf\vec{p}\in \large\mathcal{P}_\infty[/math] liegt auf der Geraden [math] \mathbf\vec{g}\in \large\mathcal{G}_0 [/math] genau dann, wenn [math]\mathbf\vec{p} \bullet \mathbf\vec{g} \in \mathbb{R}\mbox{ gilt.}[/math][br][/*][*][i]In Koordinaten:[/i] Ein Punkt [math] \mathbf\vec{g}(z)[/math] liegt auf der Geraden [math] \mathbf\vec{g}(u,\lambda [/math] genau dann, wenn [math]\mathbf\vec{g}(z) \bullet \mathbf\vec{g} \left( u,\lambda \right) = z\cdot u -\lambda\cdot i =\alpha x- \beta y+ i \cdot (\alpha y+\beta x - \lambda)\in \mathbb{R}\mbox{ dh wenn }\alpha y+\beta x - \lambda=0 \mbox{ gilt.}[/math][br][/*][*]Die Verbindungsgerade der Punkte [math] \mathbf\vec{g}(z_1), \mathbf\vec{g}(z_2)[/math] ist die Gerade [math] \mathbf\vec{g}=((x_1-x_2) - i\cdot (y1-y2)))\cdot \mathbf\vec{p}_0 +(x_1y_2-x_2y_1)\cdot i\cdot \mathbf\vec{g}_0=\overline{z_1-z_2}\cdot \mathbf\vec{p}_0+\mathbf{Im}(\overline{z_1}z_2)\cdot i\cdot\mathbf\vec{g}_0[/math].[br][math]\mathbf{Im}(z_1\overline{z_2})=0[/math], wenn [math]z_1,z_2[/math] auf einer Ursprungsgeraden liegen.[br][/*][*]Der Schnittpunkt zweier Geraden [math]\mathbf\vec{g} \left( u,\lambda \right),\mathbf\vec{g} \left( v,\mu \right)[/math] ist der Punkt [math] \mathbf\vec{g}(z)\mbox{ mit } z=\frac{\overline{\mu u-\lambda v}}{\mathbf{Im}(u\overline{v})}[/math]; [br]für parallele Geraden ist [math]\mathbf{Im}(u\overline{v})=0[/math].[/*][*]Der Schnittwinkel zweier Geraden [math]\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2 \in \large\mathcal{G}_0[/math] ist [math] \varphi = \mathbf{arg} \frac{\mathbf\vec{g}_1\bullet \mathbf\vec{p}_\infty}{\mathbf\vec{g}_2 \bullet \mathbf\vec{p}_\infty} [/math].[/*][*][i]In Koordinaten[/i] [math]\mathbf\vec{g} \left( u,\lambda \right),\mathbf\vec{g} \left( v,\mu \right)[/math] : [math] \varphi = \mathbf{arg} \frac{\mathbf\vec{g} \left( u,\lambda \right)\bullet \mathbf\vec{p}_\infty}{\mathbf\vec{g} \left( v,\mu \right)\bullet \mathbf\vec{p}_\infty} =\mathbf{arg}\frac{u}{v}[/math].[br][/*][/list][br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]