Les funcions elementals
Table des matières
- La funció afí
- La funció afí
- La funció quadràtica
- La funció quadràtica
- Funcions polinòmiques de grau 3
- Funció polinòmica de grau 3
- Funcions racionals
- Funcions racionals
- La funció de proporcionalitat inversa
- Altres funcions racionals I
- Altres funcions racionals II
- Altres funcions racionals III
- Funcions racionals més complicades I
- Funcions racionals més complicades II
- Funcions irracionals
- Les funcions irracionals
- Les funcions irracionals II
- Funcions irracionals més complicades..
- Funcions exponencials
- Funcions exponencials
- Funcions logarítmiques
- Funcions logarítmiques
- Funcions trigonomètriques
- Funcions trigonomètriques
- funcions trigonomètriques II
- La funció inversa
- La funció inversa
La funció afí
Mou el punt lliscant [i]m[/i], de valors menors a majors.Què observes quan m>0?
Què observes, concretament, quan m=0?
Què observes quan m<0? Com és la recta?
El coeficient [b]m [/b]s'anomena [b]pendent [/b]i, com hauràs vist, mesura la inclinació de la recta. Habitualment es calcula amb l'expressió [math]m=\frac{\Delta\text{y}}{\Delta\text{x}}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math] si es coneixen dos punts de la recta, [math]\left(x_1,y_1\right)[/math] i [math]\left(x_2,y_2\right)[/math]
Fes ara el mateix amb el punt lliscant [i]n[/i]. Què creus que indica el valor de [i]n[/i]?
El coeficient [i]n [/i]d'una recta s'anomena [i]ordenada a l'origen[/i].
La funció quadràtica
Mou el punt lliscant [i][b]a [/b][/i]de la paràbola. Què observes per a valors positius de [b]a [/b]?
I per a valors negatius de [b][i]a[/i][/b] [math]\left(a<0\right)[/math]?
Què s'obté si la [i][b]a[/b][/i] és exactament zero?
Considera ara, novament, valors positius de [i]a[/i]. Observa que com més petit és [i]a[/i], més ample esdevé la paràbola. En efecte, [i][b]la paràbola es va tancant a mesura que augmenta el valor absolut de a[/b][/i].
Mou el punt lliscant [b][i]c [/i][/b]de la paràbola. Què observes?
Quina és la característica més important de les paràboles amb [b][i]c[math]=0[/math][/i][/b]?
Mou el punt lliscant [i][b]b [/b][/i]i observa com es mou la paràbola. Si et cal [u]activa el traç[/u] per veure-ho millor. Quina figura obtens?
A l'applet s'han marcat uns punts amb les lletres [i][b]A[/b][/i], [i][b]B[/b][/i], [b]C [/b]i [b]D[/b]. El punt [i][b]A[/b] [/i]s'anomena [b]vèrtex de la paràbola[/b] i es calcula de la següent manera: [br][center][math]v_x=\frac{-b}{2a}[/math][/center]Per obtenir l'ordenada del vèrtex només cal substituir, en la funció, [math]x[/math] per el valor que has obtingut ([math]v_x[/math]).
Troba el vèrtex de la funció de grau dos [math]y=\frac{1}{2}x^2+2x[/math] i comprova el resultat amb el simulador:
Observa que [b][i]les funcions de segon grau són funcions simètriques[/i][/b]. Sabries dibuixar l'eix de simetria? Passa per el vèrtex?
Els punts [b]B [/b]i [b]C[/b] del dibuix són els [b]punts de tall amb l'eix de les X[/b] i es calculen igualant la funció a zero i [u]resolent[/u] l'[u]equació de segon grau[/u] que en resulta. Per trobar les imatges només cal substituir els valors de les [math]x[/math] obtinguts en la funció.
Troba els punts de tall amb l'eix de les [math]x[/math] de la funció [math]f\left(x\right)=-x^2+2x+3[/math] i comprova el resultat utilitzant la simulació.
Totes les funcions quadràtiques tallen l'eix de les [math]x[/math]? En cas afirmatiu digues perquè i si és que no, posa dos exemples.
El punt [b]D[/b] és el [b]punt de tall de la funció amb l'eix [/b][math]OY[/math] i es calcula substituint [math]x=0[/math] en l'expressió analítica. És fàcil comprovar que les coordenades d'aquest punt són [math]\left(x,y\right)=\left(0,c\right)[/math]
Calcula el punt de tall amb l'eix de les [math]y[/math] de la paràbola [math]y=4x^2+4x+1[/math] i comprova el resultat en l'applet.
Totes les funcions de segon grau tallen l'eix OY? Raona la resposta.
Utilitzant el Geogebra, troba dues funcions de segon grau que tinguin punts de tall que siguin, alhora, punts de tall amb l'eix [math]OY[/math] i punts de tall amb l'eix [math]OX[/math].
Funció polinòmica de grau 3
Aquesta és [b]forma més general d'un polinomi de grau 3[/b]. Pots observar que la funció té un [b]màxim[/b] (MAX), un [b]mínim [/b](MIN) i un [b]punt d'inflexió[/b] (INFL), que és un punt on la funció canvia de curvatura, és a dir, passa de còncava a convexa o de convexa a còncava.
Què li passa a la funció quan varia el terme independent [i]d[/i] (mou el punt lliscant d) ?
No totes les funcions de grau tres són com les que hem descrit anteriorment. Observa que [b]per alguns valors dels coeficients [i]a[/i], [i]b[/i], [i]c[/i] i [i]d[/i], el màxim i el mínim desapareixen tot i convergint en un únic punt d'inflexió[/b]. Utilitzant la simulació, ajusta els paràmetres i escriu un parell d'exemples on això passi.
Funcions racionals
Totes les funcions anteriors eren [b]funcions polinòmiques[/b], en particular, de graus 1, 2 i 3. Ara estudiarem unes funcions diferents, les [b]funcions racionals[/b]. [br][br]Les funcions racionals són les funcions, l'expressió analítica de les quals, és el quocient de dos polinomis: [br][math]f\left(x\right)=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}[/math]
El domini d'aquestes funcions són tots els nombres reals, llevat dels valors que anul·lin el denominador.[br][br]
Les funcions irracionals
Les funcions irracionals són aquelles l'expressió matemàtica de la qual presenta un radical: [br][center][math]f\left(x\right)=\sqrt[n]{g\left(x\right)}[/math][/center]on [math]g\left(x\right)[/math] és una funció polinòmica o una funció racional. [br]És molt important parar atenció en què:[br][list][*]Si [math]n[/math] és parell, cal que [math]g\left(x\right)\ge0[/math][br][/*][*]Si [math]n[/math] és senar, [math]g\left(x\right)[/math] pot ser definida positiva o negativa. [/*][/list]
Quina forma té la funció quan l'índex de l'arrel és parell?
Quina forma té la funció quan l'índex de l'arrel és senar?
Quin és el domini de la funció si [math]a=2[/math] i l'índex de l'arrel és un nombre parell?
Quin és el domini de la funció si [math]a=2[/math] i l'índex de l'arrel és un nombre senar?
Quin és el domini de la funció si [math]a=3[/math] i l'índex de l'arrel és un nombre parell?
Quin és el domini de la funció si [math]a=3[/math] i l'índex de l'arrel és un nombre senar?
Funcions exponencials
S'anomenen [b]funcions exponencials[/b] les que tenen per equació,[br][center][math]y=a^x[/math] amb [math]a>0[/math] però [math]a\ne1[/math][/center]
Si [math]a>0[/math] com és la funció, creixent o decreixent?
Ordena de creixement menor a major: [math]4^x,2^x[/math] i [math]7^x[/math][br]
Com hauràs pogut comprovar, si la [b][i]a[/i][/b] [b]és positiva, la funció és creixent i creix molt més ràpidament com major sigui [i]a[/i][/b]. [b]El creixement[/b] de qualsevol d'elles arriba a ser molt ràpid, [b]supera[/b]nt fins i tot [b]qualsevol potència[/b]. Per això, l'expressió [i]creixement exponencial[/i] és sinònim de creixement molt ràpid. [br]Comprova-ho tu mateix/a:
Tornem a la primera simulació. Digues com és la funció quan [math]a[/math] està entre [math]0[/math] i [math]-1[/math].
Per quin punt tallen l'eix d'ordenades les funcions exponencials?
Hi ha alguna asímptota?
Funcions logarítmiques
Les funcions logarítmiques responen a l'equació:[br][center][math]y=log_ax[/math][/center]amb [math]a>0[/math] però [math]a\ne1[/math].[br]
Com és la funció si [math]a>1[/math]?
I quan [math]a<1[/math]?
Independentment del valor de [math]a[/math], per quin punt talla la funció l'eix d'abcisses?
Hi ha alguna asímptota vertical?
Funcions trigonomètriques
La funció sinx
[list][*]La funció [math]sinx[/math] és una funció [b]periòdica[/b], de període [math]2\pi rad[/math] (es va repetint cada [math]2\pi rad[/math]).[/*][*]És una funció [b]acotada[/b] entre -1 i 1 ja que [math]-1\le sinx\le1[/math] per a qualsevol valor [math]x[/math] del domini. El recorregut és, per tant, [math]Recf\left(x\right)=\left[-1,1\right][/math].[/*][*][math]Domf\left(x\right)=\mathbb{R}[/math][br][/*][*]Té [b]infinits màxims[/b] [b]i mínims[/b] relatius. Els màxims relatius estan a [math]x=\frac{\pi}{2}+2\pi k[/math] amb [math]k\in\mathbb{Z}[/math]. Els mínims relatius es troben a [math]x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k[/math] amb [math]k\in\mathbb{Z}[/math].[/*][*]És una [b]funció senar:[/b] [math]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/math][/*][/list]
La funció cosx
[list][*]La funció [math]cosx[/math] és una funció [b]periòdica[/b], de període [math]2\pi rad[/math]. [/*][*]És una funció [b]acotada[/b] entre -1 i 1 ja que [math]-1\le cosx\le1[/math] per a qualsevol valor de [math]x[/math] del domini. El recorregut és, per tant, [math]Recf\left(x\right)=\left[-1,1\right][/math].[/*][*][math]Domf\left(x\right)=\mathbb{R}[/math][br][/*][*]Té [b]infinits màxims i mínims[/b] relatius. Els màxims relatius estan a [math]x=2\pi k,k\in\mathbb{Z}[/math]. Els mínims relatius es troben a [math]x=\pi+2\pi k,k\in\mathbb{Z}[/math].[/*][*]És una[b] funció parell[/b]: [math]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/math] [/*][/list]
Observa:
[b]La funció [/b][math]sinx[/math][b] i la funció [/b][math]cosx[/math][b] són la mateixa funció, però el [/b][math]cosx[/math][b] està desplaçat [/b][math]\frac{\pi}{2}[/math][b] respecte del [/b][math]sinx[/math].
La funció tgx
[list][*]La funció [math]tgx[/math] és una funció [b]periòdica[/b], de període [math]\pi rad[/math].[/*][*]És una funció amb infinites [b]discontinuïtats asimptòtiques[/b], als punts [math]x=\frac{\pi}{2}+n\pi[/math] on [math]k\in\mathbb{Z}[/math]. [/*][*]És [b]creixent[/b] en tot el domini, [b]sense màxims ni mínims[/b] relatius. [/*][*]És una [b]funció senar[/b]. [/*][/list]