Geometria Analítica - Material de Apoio

Nara Bobko, Nov 16, 2017

Prezados(as) alunos(as), Este é um Material de Apoio para a aprendizagem de Geometria Analítica (nível superior). O principal público-alvo deste material são os alunos da disciplina  de Geometria Analítica A (MA73N) do curso de Licenciatura da UTFPR-CT.  Todavia, acredito que este material poderá também ser bem interessante para alunos que cursem a disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear (MA71B) ofertada para diversos cursos de engenharia da UTFPR, bem como outras pessoas interessadas em explorar, de forma dinâmica, conceitos de Geometria Analítica.     O objetivo central deste material é auxiliá-los no processo ensino-aprendizagem de forma ATIVA, estimulando-os assim a obterem maior autonomia com relação ao aprendizado do conteúdo. Todavia, para o sucesso de tal metodologia é de grande relavância a participação de vocês! Ao visualizar cada uma das atividades, sejam ATIVOS: tendem compreender o que a construção está mostrando, alterem os parâmetros, ocultem e ativem os objetos, tentem reproduzir a construção, [b]explorem as atividades[/b]! Notem que, apesar do cerne deste material estar finalizado, a ideia é que as atividades continuem a ser aperfeiçoadas conforme as necessidades didáticas demandadas. Sugestões são bem vindas. Atenciosamente, Profa. Nara Bobko. ----- x ----- [i]Este material faz parte do Projeto de Ensino "Material de Apoio para o Ensino de Geometria Espacial e Geometria Analı́tica com o uso da Plataforma GeoGebra", coordenado pelos professores Nara Bobko e Adriano Verdério do Departamento de Matemática da UTFPR-CT. [/i] [b]Livro de Geometria Analítica - Créditos[/b] Coordenação: Profa. Nara Bobko (Elaboração e criação das atividades). Colaboradora: Ana Inglat - bolsista Edital 47/2020 - DIRGRAD - (revisão de atividades) Licença: Creative Commons – Atribuição Não Comercial-Compartilha Igual (CC BY-NC-SA) [b]Livro de Geometria Espacial [/b] Coordenação: Prof. Adriano Verdério Disponível em: [url]https://www.geogebra.org/m/qstgjkjt[/url]

Table of Contents

  1. Operações com Vetores
    1. Soma de Vetores (no Plano)
    2. Coordenadas de Vetores (Plano)
    3. Cálculo do ângulo entre dois Vetores
    4. Desigualdade Triangular
    5. Projeção Ortogonal
    6. Ilustração do Produto Vetorial
    7. Produto Vetorial: Não vale a "Lei do Cancelamento"
    8. Área de Polígono via Norma do Produto Vetorial
    9. Produto Vetorial: aproximação área círculo unitário
    10. 1 Paralelepípedo = 6 Tetraedros
    11. Interpretação Geométrica do Produto Misto
    12. Atividades Selecionadas por Alunos
  2. Equações de Retas e Planos
    1. Equação Vetorial da Reta
    2. Equação Geral do Plano
    3. Interseção entre Retas e Planos
  3. Distâncias
    1. Distância de Ponto a Reta
    2. Distância de Ponto e Plano
    3. Distância Entre Retas Reversas
    4. Pontos equidistantes de dois pontos distintos
  4. Cônicas
    1. Seções Cônicas
    2. Elipse - Definição
    3. Elipse: Elementos
    4. Elipse: Reflexão
    5. Elipse: Equações Paramétricas (dedução)
    6. Elipse: Equações paramétricas (exemplo)
    7. Hipérbole - Definição
    8. Hipérbole: Reflexão
    9. Hipérbole: Equações Paramétricas
    10. Parábola - Definição
    11. Parábola: Reflexão
    12. Eq. Paramétricas da Parábola
    13. Hipérbole = 2 Parábolas?
    14. Telescópios refletores: Aplicação Propriedades Reflexão Cônicas
  5. Quádricas
    1. Quádricas: Cônicas em Movimento
    2. Interseção de Superfícies Esféricas
    3. Interseção de Plano e Superfície Esférica
    4. Elipsoide
    5. Hiperboloide de 1 Folha
    6. Hiperboloide 2 Folhas
    7. Paraboloide Elíptico
    8. Paraboloide Hiperbólico
    9. Quádrica Cilíndrica Elíptica
    10. Quádrica Cilíndrica Hiperbólica
    11. Quádrica Cilíndrica Parabólica
    12. Quádrica Cônica
    13. Hiperboloide 1 folha - Superfície Regrada
  6. Geração de Superfícies
    1. Superfície Cônica: Exemplo feito em sala
    2. Superfície Cilíndrica: Exemplo feito em sala
    3. Superfície de Rotação

1.

Operações com Vetores

  • 1. Soma de Vetores (no Plano)
  • 2. Coordenadas de Vetores (Plano)
  • 3. Cálculo do ângulo entre dois Vetores
  • 4. Desigualdade Triangular
  • 5. Projeção Ortogonal
  • 6. Ilustração do Produto Vetorial
  • 7. Produto Vetorial: Não vale a "Lei do Cancelamento"
  • 8. Área de Polígono via Norma do Produto Vetorial
  • 9. Produto Vetorial: aproximação área círculo unitário
  • 10. 1 Paralelepípedo = 6 Tetraedros
  • 11. Interpretação Geométrica do Produto Misto
  • 12. Atividades Selecionadas por Alunos

1.1.

Soma de Vetores (no Plano)

Atividade:
[list][*]Altere os valores de [math]\vec{u}[/math] e [math]\vec{v}[/math] e observe o que ocorre com o vetor resultante de [math]\vec{u}+\vec{v}[/math]. [/*][/list]
– Nara Bobko

1.2.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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1.10.

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1.12.

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2.

Equações de Retas e Planos

  • 1. Equação Vetorial da Reta
  • 2. Equação Geral do Plano
  • 3. Interseção entre Retas e Planos

2.1.

Equação Vetorial da Reta

Atividade:
Considere a reta que passa pelo ponto [math]P_0[/math] e possui [math]\vec{v_r}[/math] como vetor diretor. [br][list][*]Altere os valores das coordenadas de [math]\vec{v_r}=\left(v_1,v_2,v_3\right)[/math] (utilize controles deslizantes) e observe a alteração das direções da reta em relação ao vetor.[/*][*]Quando alguma das coordenadas de é nula, o que podemos dizer de em relação aos planos do sistema de coordenadas?[/*][/list]
– Nara Bobko

2.2.

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2.3.

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3.

Distâncias

  • 1. Distância de Ponto a Reta
  • 2. Distância de Ponto e Plano
  • 3. Distância Entre Retas Reversas
  • 4. Pontos equidistantes de dois pontos distintos

3.1.

Distância de Ponto a Reta

Dados um ponto [math]P[/math] a uma reta [math]r:P_r+\lambda\vec{v_r}[/math], a distância de [math]P[/math] até [math]r[/math] (dist(P,r)) é igual a altura do paralelogramo formado pelos vetores [math]v_r[/math] e [math]\vec{P_rP}[/math]. Isto pode ser visualizado na construção abaixo. [br][br]Como a altura desta paralelogramo poder ser obtida dividindo-se a área do paralelogrmo (A) pela tamanho da base (b), teremos:[br][center][br][math]h=\frac{A}{b}=\frac{\parallel\vec{v_r}\times\vec{P_rP\parallel}}{\parallel\vec{v_r}\parallel}.[/math][/center]
Atividade
[list][*]Altere a posição do ponto [math]P_r[/math] da reta [math]r[/math] e observe o que muda na altura do paralelogramo ([math]h[/math]);[/*][*]Altere o tamanho e sentido do vetor diretor da reta [math]r[/math] ([math]\vec{v_r}[/math]) e observe o que muda na altura do paralelogramo ([math]h[/math]).[/*][/list]
– Nara Bobko

3.2.

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3.3.

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3.4.

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4.

Cônicas

  • 1. Seções Cônicas
  • 2. Elipse - Definição
  • 3. Elipse: Elementos
  • 4. Elipse: Reflexão
  • 5. Elipse: Equações Paramétricas (dedução)
  • 6. Elipse: Equações paramétricas (exemplo)
  • 7. Hipérbole - Definição
  • 8. Hipérbole: Reflexão
  • 9. Hipérbole: Equações Paramétricas
  • 10. Parábola - Definição
  • 11. Parábola: Reflexão
  • 12. Eq. Paramétricas da Parábola
  • 13. Hipérbole = 2 Parábolas?
  • 14. Telescópios refletores: Aplicação Propriedades Reflexão Cônicas

4.1.

Seções Cônicas

Seções cônicas (não degeneradas): visualize na construção abaixo que as cônicas podem ser vistas como resultado da intersecção de um plano com uma superfície cônica.
Alguns outros elementos também podem surgir como resultados destas interseções. Por exemplo, uma reta, um ponto, ou retas concorrentes. Explore a atividade abaixo alterando a inclinação e o posicionamento do plano para visualizar diferentes resultados de seções cônicas. [b][br][br]Como explorar esta atividade?[/b] [br]Altere os controles deslizantes [b]I[/b] e [b]T [/b]para alterar o plano em azul (inclinar e transladar, respectivamente). Em seguida, observe o resultado da interseção deste plano com a superfície cônica.
– Nara Bobko

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.9.

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4.10.

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4.11.

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4.13.

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4.14.

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5.

Quádricas

  • 1. Quádricas: Cônicas em Movimento
  • 2. Interseção de Superfícies Esféricas
  • 3. Interseção de Plano e Superfície Esférica
  • 4. Elipsoide
  • 5. Hiperboloide de 1 Folha
  • 6. Hiperboloide 2 Folhas
  • 7. Paraboloide Elíptico
  • 8. Paraboloide Hiperbólico
  • 9. Quádrica Cilíndrica Elíptica
  • 10. Quádrica Cilíndrica Hiperbólica
  • 11. Quádrica Cilíndrica Parabólica
  • 12. Quádrica Cônica
  • 13. Hiperboloide 1 folha - Superfície Regrada

5.1.

Quádricas: Cônicas em Movimento

[b]Objetivo desta construção:[/b] [br]Visualizar as superfícies quádricas como cônicas em movimento.[br][size=50]Obs.: Note que em alguns casos a construção apresentada não é a única forma de obter a superfície quádrica. [/size][br][br][b]Como explorar esta atividade?[/b][br]1) Clique no nome da Superfície Quádrica que deseja visualizar.[br]2) Altere o controle deslizante disponibilizado.[br]3) Movimente o sistema de coordenadas para visualizar a superfície em diferentes ângulos.[br][br]Obs.: Antes de clicar em uma nova superfície quádrica, atualize a página ou atualize a contrução (ícone no canto superior direito) para que os rastros anteriores sejam apagados.
– Nara Bobko

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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5.8.

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5.9.

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5.10.

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5.11.

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5.12.

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5.13.

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6.

Geração de Superfícies

  • 1. Superfície Cônica: Exemplo feito em sala
  • 2. Superfície Cilíndrica: Exemplo feito em sala
  • 3. Superfície de Rotação

6.1.

Superfície Cônica: Exemplo feito em sala

Nesta animação você pode observar como é obtida a Superfície Cônica de forma regrada, ou seja, pela a união de retas. Podemos conceber uma superfície regrada como composta por múltiplas linhas, cuja união forma a própria superfície
Clique em "Reproduzir" para visualizar a construção do exemplo.
– Nara Bobko

6.2.

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6.3.

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Information