Presentamos una actividad muy sencilla de realizar con los alumnos pero que permite desarrollar muchas facetas matemáticas en el alumno. Planteada para 3º de ESO nos permitirá ver múltiplos y divisores, explorar las relaciones que aparecen cuando asignamos a ciertos elementos geométricos dichos múltiplos, investigar sobre como obtener ciertos patrones y descubrir lo que hay detrás de un eclipse. [br][br][br]

[list][*]Coloca los deslizadores R, r y [img width=23,height=21]data:image/png;base64,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[/img] con valores 2, 1 y 0 respectivamente.[br] [/*][*]Coloca el deslizador [img width=24,height=21]data:image/png;base64,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[/img]en 1. Describe lo que sucede. Prueba con otras velocidades de [img width=24,height=21]data:image/png;base64,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[/img].[br] [/*][*]Coloca el deslizador [img width=23,height=21]data:image/png;base64,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[/img] en 1. Describe lo que sucede. ¿Por qué salen circunferencias concéntricas?[br][br][/*][*]Coloca el deslizador [img width=23,height=21]data:image/png;base64,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[/img] en 2. ¿Cómo describirías esa curva que sale?[br][br][/*][/list][br][br]

Durante varios años he tenido la suerte de trabajar con Antonio Pérez Sanz en el IES Salvador[br]Dalí, un maestro al que siempre merece la pena escuchar y del cual aprendí y aprendo mucho en esto de enseñar matemáticas.[br][br] Allá por el año 2006 Antonio trabajó con sus alumnos en una ecuación muy particular [math]r=a+bcos\left(k\right)\theta[/math].[br]Ecuación escrita en coordenadas polares y que representa a una familia de curvas llamadas “Concoides de Rosetón”. [br][br] Al hilo de la forma polar de un número complejo que vemos en bachillerato esta curva se presta mucho a la investigación, a tocar y a descubrir regularidades. Y no solo por nuestros alumnos. Muchos de nosotros quizás nos preguntemos ¿Cómo será la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva? ¿Qué curva tendrá la derivada ? ¿Será otra flor? ¿Cual será su área? ¿Cual será su longitud? [br][br] Como dice el poeta Jesús Lizano en su poesía “Las personas curvas”:

[code][/code][justify][code][/code][/justify][justify]Un número complejo se define de la forma [math]z=a+bi[/math]con [math]a,b\in\mathbb{R}[/math] e [math]i=\sqrt{-1}[/math]i. Geogebra permite la representación de complejos sin más que escribir en la barra de entrada[math]a+bi[/math], por ejemplo, [math]3+4i[/math] . [br][br]Las últimas versiones de GeoGebra ya reconocen directamente la expresión [math]3+4i[/math], no obstante, para introducir la unidad imaginaria pulsamos la combinación de teclas Alt+i (windows), ctrl+i (mac) o seleccionamos en la caja de símbolos que se encuentra a la derecha de la barra de entrada la unidad imaginaria.[icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon][br][br]También es posible trabajar las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división con sus símbolos habituales +,-,· y / en la vista CAS.[/justify][br]También disponemos de las funciones elementales con números complejos: [br][br][table][tr][td][/td][td][b]Comando [/b][/td][td][b]Función[/b][/td][/tr][tr][td][b]Parte real (z)[/b][/td][td]x(z)[/td][td]real(z)[/td][/tr][tr][td][b]Parte imaginaria(z)[br][/b][/td][td]y(z)[/td][td]imaginaria(z)[/td][/tr][tr][td][b]Módulo(z)[br][/b][/td][td]Longitud[z][/td][td]abs(z)[/td][/tr][tr][td][b]Argumento(z)[br][/b][/td][td]Ángulo[z][/td][td]arg(z)[/td][/tr][tr][td][b]Conjugado[/b][/td][td]Refleja[z,EjeX][/td][td]conjugado(x)[/td][/tr][/table][justify][br]Y los comandos:[/justify][list][*][b]Acomplejo[] [/b] que transforma un vector o un punto en un número complejo expresado algebraicamente.[/*][/list][list][*][b]Apunto[][/b] que crea el punto que corresponde al número complejo dado, es decir, el afijo.[br] [/*][*][b]Apolar[] [/b]que tiene por resultado el par [i](módulo; argumento)[/i], es decir, la expresión trigonométrica del complejo dado. [/*][/list]

[br][br][color=#000000][b]¿Pudo el éxito militar de Napoleón Bonaparte estar basado en sus conocimientos de geometría?[/b][/color][br][color=#000000]Estadista y gran estratega militar, tenía fundados conocimientos matemáticos, algo infrecuente entre grandes gobernantes y políticos. [/color][br][color=#000000]Las matemáticas en la vida de Napoleón tuvieron una presencia notable, pero es con el Teorema que lleva su nombre, donde se confirma ese interés y gusto por la geometría. En 1826 apareció publicado el Teorema de Napoleón, que se ha atribuido erróneamente a su persona. N[/color][color=#000000]o hay pruebas tangibles de que sea el verdadero autor y, de hecho, apareció publicado años después de su muerte. El autor fue Lorenzo Mascheroni, quien sabiendo de la pasión del general francés por la geometría, le dedicó su libro [/color][color=#000000][i]Geometría [/i][/color][i][color=#000000][i]del Compasso[/i][/color][/i][i][color=#000000][i], [/i][/color][/i][color=#000000]1797. La confusión hizo que de forma injusta se atribuyera a Napoleón el nombre del teorema y su demostración.[/color][br][br]

[br][color=#000000][b]Napoleón[/b] era un entusiasta matemático, fascinado por la geometría, ciencia de gran importancia militar. Además sentía ilimitada admiración por los matemáticos franceses, asistió a clases de[b] Louis Monge y de[br] Pierre-Simón de Laplace[/b] al que nombró ministro del Interior durante un breve periodo del Consulado, y después senador.[/color][br][color=#000000]Napoleón se rodeó en su corte de científicos, geógrafos, químicos, zoólogos y artistas, incluyendo el gran matemático Monge, al que nombró conde y senador. [br][/color][color=#000000] [b]Mascheroni[/b] fue ardiente admirador de Napoleón y de la Revolución Francesa.[br]Ambos se conocieron en 1796 con la invasión francesa del norte de Italia y estrecharon una sólida amistad. La influencia de Mascheroni en el militar francés fue decisiva. Se dice que en 1797, mientras[br]Napoleón estaba con [b]Joseph Louis Lagrange[/b] y Pierre Simon de Laplace, el pequeño general sorprendió a ambos explicándoles la demostración del teorema que da nombre a este artículo de[br]“CreoGebra”. Laplace comentó en esa ocasión: [/color][br][color=#000000][i] «General, esperábamos de vos cualquier cosa, excepto lecciones de geometría»[/i][/color][br][color=#000000][br]Napoleón dio a conocer la obra de Mascheroni a los matemáticos franceses. En 1798, un año después de la primera edición italiana, ya se había publicado en París una traducción de la Geometría del Compasso.[/color][br][color=#252525][br][center][/center]A BONAPARTE L'ITALICO[br][table][tr][td][color=#252525][i]Io pur ti vidi coli invitta mano,[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Che parte i regni, e a Vienna intimò pace,[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Meco divider con attento guardo[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Il curvo giro del fedel compasso.[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]E te pur vidi aprir le arcane cifre[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]D’ardui problemi col valor d’antico[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Geometra Maestro, e mi sovvenne[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Quando l’alpi varcasti Annibal nove[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Per liberar tua cara Italia, e tutto[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Rapidamente mi passò davanti[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]L’anno di tue vittorie, anno che splende[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Nell’abuso de’ secoli qual sole.[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Segui l’impresa, e coll’invitta mano[/i][/color][color=#252525][br][/color][color=#252525][i]Guida all’Italia tua liberi giorni.[/i][/color][/td][td][i]Y yo te vi con la mano invicta,[/i][br]Q[i]ue partió los reinos y en Viena ordenó la paz,[/i][br]D[i]ivisor de Meco con mirada atenta[/i][br]A[i]l curvo giro del fiel compás.[/i][br][i]Y también te vi abrir arcanas cifras[/i][br]E[i]n difíciles problemas con valor de antiguo[/i][br]G[i]eómetra maestro, y me hace recordar[/i][br]C[i]uando los Alpes sometiste como Aníbal[/i][br][i]Para liberar a tu querida Italia, y con gran[/i][br]R[i]apidez pasó delante de mí[/i][br]E[i]l año de tus victorias, año que brilla[/i][br]E[i]n el paso de los siglos como el sol.[/i][br][i]Sigue tu empresa, y con[br]la mano invicta[/i][br]G[i]uía a tu Italia a sus días de libertad.[/i][/td][/tr][/table][/color]

[justify]Decía Miguel de Guzmán:[br][/justify][quote]Las ideas, conceptos y métodos de las matemáticas presentan gran riqueza de contenidos visuales, representables intuitivamente, geométricamente, cuya utilización resulta muy provechosa, tanto en las tareas de representación y manejo de tales conceptos y métodos como en la manipulación con ellos para la resolución de problemas de campo[/quote][justify]Podríamos resumir la frase anterior en: “una imagen vale más que mil palabras”, frase muy usada por los matemáticos antiguos, de hecho, podemos remontarnos a la demostración del Teorema de Pitágoras que se encuentra en el texto chino Zhoubi Suanjing, que aún sin tener una datación clara se estima se escribió entre el 500 y el 300 a. C., para ver una imagen explicando el teorema (Ilustración 1). Posteriormente aparecían las atribuidas a Pitágoras.[/justify][br][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Chinese_pythagoras.jpg/320px-Chinese_pythagoras.jpg[/img][br]Ilustración 1[br][br]  El uso de imágenes para explicar un concepto o resultado matemático era un recurso muy usado por los antiguos, ya sea por falta de aparato algebraico o por la transmisión de conocimientos mediante imágenes, pero dicha práctica no llegó a extenderse y mucho menos aceptarse como demostración con o sin palabras.

[justify]Dos de las novedades más llamativas de GeoGebra son el rastro y color dinámico. El primero de ellos nos permite dejar la huella de un objeto allá por donde pasa y el segundo nos permite cambiar el color del objeto de forma dinámica.[br][br]En la pestaña propiedades de un objeto podemos encontrar ambas posibilidades, en la pestaña básico encontraremos la opción para activar el rastro y en la pestaña Avanzado la opción para cambiar el color. Antes de adentrarnos en el color dinámico necesitaremos algunas nociones “informáticas”.[br][br]Un píxel, acrónimo “pix” de picture y “el” de element, consiste en la unidad más pequeña de información que compone una imagen. Las pantallas gráficas muestran imágenes dividiendo la pantalla en miles (o millones) de pixeles, dispuestos en filas y columnas. Los pixeles están tan juntos que parece que estén conectados.[br][br]Un píxel se compone realmente de tres puntos, uno rojo, uno azul, y uno verde. Idealmente, los tres puntos convergen en el mismo pixel. Cada píxel se codifica mediante un conjunto de bits de longitud determinada, denominada profundidad de color, por ejemplo, en modo color de 8 bits permite mostrar 2[sup]8[/sup] colores diferentes o gamas de gris.[/justify][br][br][br] [br] [img 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Modelo RGB[/i][br][br][br][br]A la hora de codificar los bits, es necesario definir que modelo de color se va usar. El modelo más común es el RGB, (Red-Rojo, Green-Verde, Blue-Azul), pero existen otros como CMYK o sRGB. El modelo de color RGB permite crear un color compuesto por los tres colores primarios según el sistema de mezcla aditiva. De esta forma, según la cantidad de cada uno de ellos que se use en cada píxel se obtendrá el resultado del[br]color final del mismo.[br][br]El modelo RGB asigna una valor de intensidad a cada píxel que oscila entre 0 (negro o sin intensidad)[br]y 255 (blanco o máxima intensidad) para cada uno de los tres colores. Pudiendo obtener toda la gama desde 0 hasta 255.[br][br][br] [br] 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Pestaña Avanzado. Colores dinámicos[/i][br][br][br][br]En la pestaña Avanzado de las propiedades de un objeto encontramos la opción de modificar la cantidad de rojo, verde y azul.[br][br]Inicialmente los tres campos aparecen vacíos. A la hora de introducir valores es conveniente tener en cuenta que GeoGebra no asigna un valor entre 0 y 255 sino un valor entre 0 y 1, donde cero es sin intensidad y 1 es máxima intensidad del color.[br][br]La verdadera potencia del color dinámico de GeoGebra reside en que en los campos Red, Green y Blue no solo podemos poner un valor fijo sino un valor variable.[br][br][br]

[b]Guía de construcción[br][br][/b][list][*][color=#0066cc][color=#000000]Con el botón [img width=18,height=18]data:image/png;base64,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[/img] d[/color][/color][color=#0066cc][color=#000000]ibujamos [/color][/color][color=#0066cc][color=#000000]un punto.[/color][/color][br][/*][*]Con el botón derecho sobre el punto A, pulsamos propiedades. [br][/*][*]En la pestaña básico activamos el rastro y en la pestaña Avanzado escribimos en la casilla Red, x(A). Automáticamente se rellenarán los otros campos. [br][/*][*]Cerramos la ventana preferencias y movemos el punto A.[b][br][/b][/*][/list][list][/list][center][/center][img]data:image/png;base64,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Como se puede observar aparece una regularidad. Como hemos mencionado antes, GeoGebra asigna colores con valores entre 0 y 1, el x(A), la ordenada del punto A puede tener otros valores. En realidad, GeoGebra usa una función para asignar el color:[list] [*]Si el valor o expresión introducida está entre 0 y 1 asigna el mismo valor. [/*][*]Si el valor o expresión es mayor que 2 toma su valor módulo 2[/*][*]Si el valor o expresión (o su resto módulo 2) está entre 1 y 2 toma 2 – el valor introducido.[/*][/list][br]Se puede simplificar escribiendo c(x)= 1 – abs(1- x+ 2 floor(x/2)[left]x el valor o expresión del color, abs es el valor absoluto y floor es la función parte entera. El motivo de esta asignación está en la continuidad de color o más bien en evitar discontinuidades en el color. Aún así, la función c(x) es periódica, c(x) = c(x) + 2n, [math]n\in\mathbb{N}[/math].[br][br]Una forma de evitar esa periodicidad es componer con una función no periódica, por ejemplo una exponencial.[br][br]A lo largo de todo el texto usaremos la vista gráfica 2 para situar los deslizadores y demás controles que insertemos, dejando la vista gráfica 1 para nuestros diseños. [/left][list][list][list] [/list][br] [/list][br][/list][br][br]

[justify]El alumnado de Educación Infantil, niñas y niños de 3 a 5 años, aprenden los conceptos matemáticos tocando, mirando y jugando. Manipulan los objetos (lo más reales posible) para discriminar su forma, observan sus características (si giran y que trayectoria siguen, si tienen “puntas” …) y las relaciones que pueda haber entre ellos (si se pueden poner unos dentro de otros, si son más grandes o más pequeños…) y hacen razonamientos y pruebas de las que deducen unas conclusiones que pueden ser más o menos acertadas o ciertas.[br][br]También aprenden con las imágenes: dibujos y fotografías de lo que ven en la calle, en la escuela o en los libros, presentadas por el profesorado o en un ordenador con diferentes herramientas incluyendo el GeoGebra.[br][br]Os podéis preguntar que hace una profesora de Infantil hablando de GeoGebra si este programa se utiliza básicamente en secundaria y la Universidad (y cada vez más en Primaria). ¿Que pueden hacer con él unos niños y niñas tan pequeños? ¿Qué habilidades tienen para utilizar un programa en principio tan complicado?[br][br]Hay que aclarar que nosotros utilizamos GeoGebra por los conceptos geométricos, no los algebraicos o los de cálculo.[br][br]Las actividades que presentamos son fruto de una colaboración pedagógica y técnica de una profesora de Educación Infantil y de un profesor de Secundaria. Las diferenciamos en tres grandes bloques:[br][br][/justify][list=1][*][b]Bloque de actividades libres[/b]. Son las que tienen la vista gráfica en blanco y las herramientas para dibujar figuras, tanto en 2D como en 3D. Decimos dibujar y no construir puesto que esto último lo dejamos para niveles superiores. En este bloque el alumnado experimenta dibujando, pero, como GeoGebra no es un programa de dibujo, estamos trabajando la geometría y, por tanto, representando la realidad con líneas, figuras geométricas y cuerpos.[br][br]Cuando quisieron dibujar un cohete utilizaron un cilindro y pusieron encima un cono. Como se trata de un programa dinámico y lo que dibujan se puede mover y modificar, lo que inicialmente era un cohete se convirtió, modificando la altura del cilindro y su radio, en una carpa de circo y luego en un plastidecor.[br][br][/*][*][b]Bloque de actividades guiadas[/b]. Son las que proponemos nosotros, con una consigna determinada. Son siempre actividades que hemos hecho y cuyos conceptos hemos trabajado previamente en el aula con material o con imágenes y que nos dan la posibilidad de trabajarlas a continuación con herramientas como GeoGebra.[br]Por ejemplo, ver la simetría de una silla, mover un coche para verlo desde diferentes puntos de vista (desde arriba, desde abajo, de lado), jugar con las baldosas en forma de rombo que hay en la estación de metro próxima a la escuela: Incluyendo fotografías ayuda mucho a que los conceptos que aprenden estén lo más próximos de la realidad que sea posible.[br][br][/*][*][b]Bloque de actividades personales.[/b] Son el resultado de la experimentación y de las reflexiones que hacen. A menudo, explican al resto de la clase lo que descubren y pensamos que sería una buena idea reproducir sus descubrimientos utilizando el programa. Por ejemplo, si cortamos un plátano por la mitad sale un círculo y si juntamos varios círculos acaba saliendo un plátano. También utilizamos el libro de los espejos para ver cuántos botones se ven a medida que vamos abriendo o cerrando el libro. Observaron cómo gira sobre sí mismo un cornete de un helado y que una barra de cola gira generando una línea recta.[br][br][/*][*][b]Bloque de actividades para resolver dudas[/b] las que expresan por su cuenta o las que nosotros detectamos. Por ejemplo, para ver la diferencia entre un prisma y una pirámide creamos una animación en la que la superficie superior del prisma se hacía cada vez más pequeña hasta convertirse en un punto.[br][br]Estos son solo algunos de los ejemplos de lo que puede llegar a hacer el alumnado de Infantil de 3, 4 y 5 años y se puede decir que está garantizada la motivación porque es como si estuvieran jugando como es el caso de una alumna que movía una pirámide en la pantalla digital y expresó que estaba jugando con una pirámide.[/*][/list][br][br]El uso de las herramientas del programa (eliminando, si es necesario, las que no se hacen servir) no representa ninguna dificultad motriz porque han nacido en la era digital y están muy acostumbrados a vivir en el entorno tecnológico actual y ver imágenes continuamente. Nos encontramos con el hecho curioso de que un alumno de 3 años, en la pizarra digital, quería hacer un círculo más grande y para ello utilizó las dos manos imitando los dedos cuando los usamos en el móvil. En resumen, se trata de una experiencia muy gratificante y estimulante tanto para el alumnado como para el profesorado.[br][br]Otro aspecto a tener muy en cuenta es el hecho de que la utilización de GeoGebra a edades tan tempranas facilita que lo puedan seguir utilizando en etapas posteriores y, muy especialmente, en la educación Primaria.

Un placer poco valorado hoy en día es la observación. En el anonimato que la sociedad produce, pasear, observar e intentar resolver la ecuación anónima que un objeto lleva implícita te hace sentir que compartes con alguien un secreto oculto y por unos instantes formas parte de un todo. [br][br] Observar con ojos matemáticos no es fácil al principio, vivimos envueltos en la cotidianidad visual dando por sentado las cosas sin apreciar la ciencia y sabiduría detrás de ellas. Por ejemplo, ¿por qué las alcantarillas son circulares?[br] [br]Desde hace tiempo me gusta salir con los alumnos por la ciudad y mostrarles que la belleza de las matemáticas está en cualquier rincón, en un logotipo, en una baldosa o en una escultura. [br][br]Últimamente a los alumnos les llama la atención las diferencias entre ver una ciudad a pie de calle y ver una ciudad a vista de pájaro. A vista de calle es una actividad apasionante que ilustra a los alumnos en la apreciación de las Matemáticas, sin embargo, a vista de pájaro la ciudad adquiere otra dimensión, surgen figuras geométricas y patrones que desde el suelo se pueden intuir pero que desde el aire muestran todo su esplendor.[br][br]Gracias a las herramientas TIC que hoy en día existen podemos realizar un viaje a vista de GeoGebra para observar esa Geometría oculta de las ciudades, las posibilidades 3D de GeoGeobra también nos permitirán modelizar algunas de las estructuras que desde el suelo podemos observar.

Autores:[br][br]ManuelGarcía-Piqueras[br]JoséManuelDiego-Mantecón[br]TeresaF. Blanco[sup][br][/sup]María Sotos Serrano[br][br]Artículo publicado en la revista SUMA 89

[justify]En este artículo mostraremos un ejemplo de resolución mediante una serie de [i]applets[/i]GeoGebra para un problema en concreto, que puede servir de guía al profesor de segundo ciclo de secundaria y bachillerato para su aprovechamiento en el aula, con este u otros problemas similares. [br][br]En particular, se ha seleccionado el famoso problema de la Galería de Arte; propuesto originalmente por Victor Klee en 1973 y resuelto posteriormente por otros autores como Vasek Chvátal y SteveFisk (Aigner y Ziegler, 2005). A continuación, presentaremos el problema y mostraremos cómo puede ser atacado por el estudiante de segundo ciclo de secundaria y bachillerato: inicialmente se plantea el problema y se propone una experimentación de casos particulares con GeoGebra que conduce a la formulación de una conjetura sólida y su posterior formalización, para terminar, demostrándola también con la ayuda de esta herramienta. [br][br]Además, se presenta una ampliación que sugiere una posible adaptación del mismo a los diferentes niveles académicos del alumnado.[/justify]