Wir betrachten die Funktion f mit [math]f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2}[/math] . Wir bestimmen den Definitionsbereich, indem wir die Nullstellen des Nenners ermitteln:[br] [math]x^2-3x+2=0[/math][br] MNF: [math]x_1=1[/math] (einfach); [math]x_2=2[/math] (einfach)[br][br]Der Definitionsbereich lautet damit: [math]D=\mathbb{R}\backslash\left\{1;2\right\}[/math]. f hat also an den Stellen [color=#ff0000]x = 1[/color] und [color=#ff0000]x = 2[/color] jeweils eine einfache [color=#ff0000]Polstelle[/color], d.h. jeweils eine [color=#ff0000]senkrechte Asymptote[/color] mit VZW.[br][br]Lassen wir Geogebra einmal die Funktion zeichnen. Klicken Sie dazu den Play-Button:

Das ist überraschend! Es gibt trotz unserer Rechnung bei x = 1 gar keine Polstelle! Wie kann das sein?![br][br]Was hier passiert, kann man verstehen, indem man auch die Nullstellen von f berechnet:[br][br] [math]f\left(x\right)=0[/math][br] [math]\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2}=0[/math] | [math]\cdot\left(x^2-3x+2\right)[/math][br] [math]x^2-4x+3=0[/math][br] MNF: [math]x_1=1[/math] (einfach); [math]x_2=3[/math] (einfach)[br][br] Aha! x = 1 ist also auch eine Nullstelle. Nun kann ein und dieselbe Stelle nicht zugleich Null- und Polstelle sein. Was von beiden ist sie denn nun? Das sieht man, wenn man nun Zähler und Nenner jeweils in [color=#ff0000]Linearfaktorzerlegung[/color] umschreibt:[br][br] [math]f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2}=\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{x-3}{x-2}[/math][br][br]Im letzten Schritt haben wir den Linearfaktor (x-1) gekürzt. Und jetzt ist die Sache klar: Weil sich dieser Linearfaktor herauskürzt, ist x = 1 weder eine Null- noch eine Polstelle![br][br]Weil der Ausgangsterm aber in der ungekürzten Fassung gegeben war und der Nenner dort zwei Nullstellen hatte, bleiben Mathematiker dabei zu sagen, dass der Definitionsbereich [math]D=R\backslash\left\{1;2\right\}[/math] lautet. Die Stelle x = 1 bleibt daher eine Definitionslücke, obwohl hier keine Polstelle vorliegt. Mathematiker sprechen stattdessen von einer [color=#ff0000]hebbaren Lücke[/color].[br]

Sollte beim Berechnen der Polstellen dieselbe Stelle auftreten wie beim Berechnen der Nullstellen, so ist Vorsicht geboten. Dann zeigt ein Umschreiben in die Linearfaktorzerlegung von Zähler und Nenner, was hier tatsächlich vorliegt.[br][br]Die betreffende Stelle ist dann auf jeden Fall eine Definitionslücke. Es kann aber ansonsten noch immer alles an dieser Stelle vorliegen: Polstelle, Nullstelle (als hebbare Lücke); normale Stelle (als hebbare Lücke).[br][br][b]Beispiele:[br][/b][br]1) [math]f\left(x\right)=\frac{\left(x-2\right)\left(x+3\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=\frac{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)}[/math] an der Stelle x = -3 liegt eine Nullstelle (als hebbare Lücke) vor.[br][br]2) [math]f\left(x\right)=\frac{\left(x-5\right)\left(x+2\right)}{\left(x-10\right)\left(x-5\right)^2}=\frac{\left(x+2\right)}{\left(x-10\right)\left(x-5\right)}[/math] an der Stelle x = 5 liegt eine einfache Polstelle mit VZW vor.[br][br]3) [math]f\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)^3}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)^3}=\frac{x+1}{x-1}[/math] an der Stelle x = 4 liegt weder eine Null- noch eine Polstelle, sondern [br] eine normale Stelle (als hebbare Lücke) vor.[br][br]Hebbare Lücken kennzeichnet man am Graphen, indem man an dieser Stelle eine Lücke lässt und diese einkringelt. Der Graph der letzten Funktion 3) sieht damit folgendermaßen aus: