In questo capitolo riprenderemo e consolideremo una prima definizione formale delle grandezze goniometriche.[br][br]Un angolo viene normalmente misurato come frazione dell'angolo giro, definito pari a 360°: l'angolo retto è di 90° perché è un quarto di quello di 360°, quello piatto è 180° perché ne è la metà e così via.[br][br]Abbiamo visto nei primi esempi che è possibile definire delle altre grandezze che caratterizzano ogni angolo, e che sono molto utili per misurarlo e fare operazioni con esso. [b]Tali grandezze sono dette goniometriche, appunto perché misurano le caratteristiche degli angoli[/b] (la radice "gonio" deriva dal greco e significa appunto "angolo", infatti il goniometro è lo strumento per misurare gli angoli). Nella seguente animazione introduciamo la prima di queste grandezze, chiamata "seno" dell'angolo.[br][br][b][color=#ff0000]Nella seguente animazione riprendiamo le definizioni già anticipate e chiariamo perché possono essere considerate a tutti gli effetti delle caratteristiche specifiche di ogni singolo angolo[/color].[/b][br][br][color=#0000ff][b]ATTENZIONE[/b]: nella seguente animazione verrà costruito un angolo utilizzando segmenti con misure particolari. [b]OVVIAMENTE SI TRATTA DI VALORI DI [u]ESEMPIO[/u], particolarmente utili perché rendono semplici i calcoli, E LE PROPRIETÀ CHE OTTERREMO VALGONO PER [u]QUALSIASI[/u] ALTRO ANGOLO[/b].[/color]

In questa presentazione abbiamo visto che [b]possiamo definire le caratteristiche di un angolo costruendo sui suoi lati un triangolo rettangolo qualsiasi: da un punto qualsiasi di uno dei suoi due lati tracciamo un segmento perpendicolare all'altro lato[/b]. Scegliendo dei punti di partenza differenti [u]otteniamo sempre triangoli simili tra loro, che danno lo stesso valore per ognuna di queste caratteristiche[/u].[br][br]In particolare abbiamo definito [b][color=#ff0000]seno dell'angolo[/color] il rapporto tra il cateto [color=#ff0000]opposto[/color] all'angolo e l'ipotenusa[/b]. [br][br][center][math]\Large{\textcolor{#ff0000}{sen\left(\alpha\right)=\frac{cateto\ opposto\ all'angolo}{ipotenusa}}}[/math][/center][color=#ff0000][b]Il seno è quindi collegato al cateto opposto[/b] (alla componente "verticale" dell'angolo)[/color], e lo si può esprimere anche affermando che[b][color=#ff0000]il cateto opposto[/color] si ottiene moltiplicando l'ipotenusa per il [color=#ff0000]seno dell'angolo[/color][/b].[br][br][center][math]\Large{\textcolor{#ff0000}{cateto\ opposto\ all'angolo} = ipotenusa \cdot \textcolor{#ff0000}{sen\left(\alpha\right)}}[/math][/center][br][br]Allo stesso modo [b]il rapporto tra il cateto [color=#0000ff]adiacente[/color] all'angolo e l'ipotenusa è chiamato [color=#0000ff]coseno dell'angolo[/color][/b].[br][br][center][math]\Large{\textcolor{#0000ff}{cos\left(\alpha\right)=\frac{cateto\ adiacente\ all'angolo}{ipotenusa}}}[/math][/center][br][br]che si può esprimere anche affermando che [b][color=#0000ff]il cateto adiacente[/color] si ottiene moltiplicando l'ipotenusa per il [color=#0000ff]coseno dell'angolo[/color][/b].[br][br][center][math]\Large{\textcolor{#0000ff}{cateto\ adiacente\ all'angolo} = ipotenusa \cdot \textcolor{#0000ff}{cos\left(\alpha\right)}}[/math][/center][br][br][br]Riportiamo qui l'immagine usata nel capitolo precedente per una prima definizione operativa delle grandezze goniometriche: vediamo ancora una volta che le figure ed i concetti sono gli stessi.

Abbiamo definito [math]\large{\textcolor{#ff0000}{sen \left(\alpha\right)=\frac{cateto\ opposto}{ipotenusa}}}[/math] , che nel nostro esempio equivaleva a [math]\large{\textcolor{red}{sen \left (\alpha \right )} = \frac{\textcolor{255, 127,[br] 0}{v_v}}{v}}[/math], da cui otteniamo [math]\large{\textcolor{255, 127,[br] 0}{v_v} = v \cdot \textcolor{red}{sen \left (\alpha \right )}}[/math], cioè che la componente verticale (il cateto opposto all'angolo) si ottiene moltiplicando il vettore originale (cioè l'ipotenusa) per un coefficiente che dipende dall'angolo, che abbiamo definito seno dell'angolo [math]\alpha[/math].[br][br]Allo stesso modo la relazione [math]\large{\textcolor{blue}{cos\left(\alpha\right)=\frac{cateto\ adiacente}{ipotenusa}}}[/math] diventa nel nostro esempio [math]\large{\textcolor{blue}{cos \left (\alpha \right )} = \frac{\textcolor{#007700}{v_o}}{v}}[/math], da cui otteniamo [math]\large{\textcolor{#007700}{v_o} = v \cdot \textcolor{blue}{cos \left (\alpha \right )}}[/math], cioè che la componente orizzontale (il cateto adiacente all'angolo) si ottiene moltiplicando il vettore originale (cioè l'ipotenusa) per un altro coefficiente, che abbiamo definito coseno dell'angolo [math]\alpha[/math].[br][br][br]Si definisce infine un'ultima grandezza goniometrica chiamata [b][color=#38761d]tangente dell'angolo[/color] pari al rapporto tra il cateto opposto e quello adiacente[/b].[br][br][center][math]\Large{\textcolor{#007700}{tan\left(\alpha\right)=\frac{cateto\ opposto\ all'angolo}{cateto\ adiacente\ all'angolo}}}[/math][/center][br][br]Ne approfittiamo per completare la nostra conoscenza dell'angolo di [math]\large{60°}[/math], il primo che abbiamo incontrato. Dato che sappiamo che [math]\large{\textcolor{blue}{\cos (60°)}}[/math] e [math]\Large{\textcolor{red}{\sin(60°)}}[/math], abbiamo che in un triangolo rettangolo con un angolo di [math]\large{60°}[/math] si ha che [br][math]\Large{\textcolor{blue}{cateto\ opposto} = \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} \cdot ipotenusa}[/math][br][math]\Large{\textcolor{red}{cateto\ adiacente} = \textcolor{red}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot ipotenusa}[/math][br][br]da cui possiamo calcolare:[br][br][math]\Large{\textcolor{#007700}{\tan(60°)} = \frac{\textcolor{red}{cateto\ opposto}}{\textcolor{blue}{cateto\ adiacente}}=\frac{ \textcolor{red}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot ipotenusa}{\textcolor{blue}{\frac{1}{2}} \cdot ipotenusa} = \sqrt{3}}[/math][br][br]Possiamo già intuire che in [i]qualsiasi[/i] angolo la tangente può essere calcolata in questo modo, e poiché le due ipotenuse si semplificano sempre, otterremo una di quelle che vengono chiamate leggi fondamentali della goniometria:[br][br][math]\Large{\textcolor{#007700}{\tan(\alpha)} =\frac{ \textcolor{red}{\\sin \alpha} }{\textcolor{blue}{\cos \alpha}}}[/math][br][br][size=150][color=#ff0000][br]VISUALIZZARE LE CARATTERISTICHE DI UN ANGOLO[br][/color][/size]Utilizzeremo seno, coseno e tangente per risolvere problemi geometrici pratici; è quindi molto importante abituarsi a questi concetti, che propongono un punto di vista un po' differente da quello a cui siamo abituati, e saperli riconoscere ed applicare anche in figure poste in modo "scomodo" (le situazioni reali non sono sempre orientate e su misura rispetto a come siamo comodi noi!).[br][br] È quindi importante capire come costruire e visualizzare, dato un angolo qualsiasi, una costruzione che permetta di definire le grandezze goniometriche di quell'angolo.[br][br]Facciamo qualche esempio nella seguente animazione.

[size=150][color=#ff0000]Puoi allenarti a riconoscere cateto opposto, adiacente ed ipotenusa ed a utilizzarli per calcolare seno, coseno e tangente utilizzando questo strumento:[br][/color][color=#0000ff][u][url=http://davidpetro.org/WebSketches/TrigGenerator/index.html]http://davidpetro.org/WebSketches/TrigGenerator/index.html[br][/url][/u][/color][color=#ff0000][br]LE GRANDEZZE GONIOMETRICHE DI ANGOLI COMPLEMENTARI[/color][/size][br]Abbiamo visto che seno e coseno siano legati ai cateti di un triangolo rettangolo. Poiché [b]in un qualsiasi triangolo rettangolo i due angoli acuti sono complementari[/b] (cioè sommati danno 90°), possiamo dedurne che [b]possiamo usare lo stesso triangolo per studiare le caratteristiche di due angoli complementari, le cui caratteristiche goniometriche sono quindi in relazione tra loro[/b]. [br][br]L'animazione qui sotto, infatti, mostra che [b][color=#ff0000]i due angoli acuti dello stesso triangolo rettangolo "si scambiano" il cateto opposto e quello adiacente; di conseguenza il seno di un angolo è il coseno del suo complementare e viceversa[/color][/b].[br]

Nell'animazione è stato introdotto il concetto di [b]cotangente di un angolo[/b], che è definita come il reciproco della tangente. [br][br][center][math]\Large{\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}}[/math][/center]In modo analogo si definiscono la [b]cosecante[/b] come reciproco del seno [br][br][center][math]\Large{\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}}[/math][/center]e la [b]secante [/b]come reciproco del coseno[br][center][math]\Large{\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}}[/math][/center]Queste tre grandezze NON sono così importanti e non le utilizzeremo molto: seno, coseno e tangente sono più che sufficienti per descrivere le caratteristiche degli angoli. È utile conoscerle in modo da poterle interpretare correttamente nel caso le si incontri in un problema o un esercizio.[br][br]Molto più importante il concetto generale che abbiamo introdotto studiando gli angoli complementari, ovvero che [b][color=#ff0000]le caratteristiche di certe coppie di angoli sono in relazione tra loro e si possono ottenere le une dalle altre[/color][/b]. Questo è utile per due ragioni:[br][br][b]Ci permette di conoscere i valori goniometrici di nuovi angoli[/b]. Ad esempio sapevamo già che [math]\large{\cos(60°) = \frac{1}{2}}[/math], [math]\large{\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}}[/math] e [math]\large{\tan(60°) = \sqrt{3}}[/math]; ora da queste possiamo dedurre le caratteristiche del complementare di [math]\large{60°}[/math], cioè [math]\large{90°-60°=30°}[/math], e cioè:[br][list][*][math]\large{\cos(30°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}}[/math][br][/*][*][math]\large{\sin(30°) = \cos(60°) = \frac{1}{2}}[/math][/*][*][math]\large{\tan(30°) = \frac{1}{\tan(60°)} = \frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{3}}{3}}[/math][/*][/list][b]Ci permette di comprendere ancora meglio il significato delle grandezze goniometriche in relazione alle proprietà degli angoli[/b], come vedremo più avanti esplorando altre coppie di angoli associati tra loro.[br]