Hat eine Funktion f(x) eine Nullstelle x[sub]1[/sub], so ist sie - wie wir bei der Polynomdivision bereits gesehen haben - durch (x-x[sub]1[/sub]) teilbar. Das Ergebnis, das sich bei der Polynomdivision ergibt, ist wiederum ein Funktionsterm, den wir nun mit g(x) bezeichnen:[br] f(x):(x-x[sub]1[/sub]) = g(x)[br]Nach Multiplikation mit (x-x[sub]1[/sub]) ergibt sich: f(x) = g(x)(x-x[sub]1[/sub])[br][br]Wir halten das Ergebnis wie folgt fest: Hat f(x) die Nullstelle x[sub]1[/sub], so lässt sich von f(x) der Linearfaktor (x-x[sub]1[/sub]) "abspalten". D.h. f(x) lässt sich als Produkt aus dem so genannten [b]Linearfaktor[/b] (x-x[sub]1[/sub]) und einer Restfunktion g(x) umschreiben, deren Grad übrigens um genau 1 kleiner sein muss als der Grad von f(x).[br][br][b]Hinweis für Freaks[/b]: Dass sich f(x) tatsächlich in g(x)(x-x[sub]1[/sub]) umschreiben lässt, haben wir bei der Polynomdivision eigentlich schon vorausgesetzt und nicht wirklich bewiesen. Da steckt eigentlich der so genannte [b]Reduktionssatz[/b] dahinter. Den kann man beweisen. Wer wissen will, was dieser Satz genau sagt und wie er bewiesen werden kann, der darf sich das folgende Arbeitsblatt anschauen (bitte anklicken). (Aber nur Freaks!)[br]

Nun würden wir nach der Polynomdivision ja g(x) = 0 setzen und die weiteren Nullstellen berechnen. Für g(x) gilt natürlich auch: Ist x[sub]2[/sub] eine Nullstelle, so lässt sich der Linearfaktor (x-x[sub]2[/sub]) abspalten, d.h. g(x) lässt sich umschreiben in g(x) = h(x)(x-x[sub]2[/sub]), wobei der Grad von h(x) genau um 1 kleiner ist als der von g(x). Insgesamt haben wir damit:[br] f(x) = g(x)(x-x[sub]1[/sub]) = h(x)(x-x[sub]2[/sub])(x-x[sub]1[/sub])[br]Die lässt sich solange weiter machen, bis entweder die Restfunktion keine Nullstellen mehr besitzt oder f(x) komplett in Linearfaktoren zerlegt ist. Letzteres würde für eine ganzrationale Funktion n-ten Grades so aussehen:[br] f(x) = a(x-x[sub]1[/sub])(x-x[sub]2[/sub])(x-x[sub]3[/sub])...(x-x[sub]n[/sub])[br]wobei x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub], ... x[sub]n[/sub] die n Nullstellen der Funktion f(x) sind. Hier ist also die Funktion vollständig in Linearfaktoren zerlegt. Der Term auf der rechten Seite heißt [b]Linearfaktorzerlegung[/b] von f(x). Es gilt also der folgende Satz:

Hat eine ganzrationale Funktion n-ten Grades genau n Nullstellen, dann lässt sie sich in die Linearfaktorzerlegung umschreiben:[br][br][justify] f(x) = a(x-x[sub]1[/sub])(x-x[sub]2[/sub])(x-x[sub]3[/sub])...(x-x[sub]n[/sub])[br][br]wobei x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub], ... x[sub]n[/sub] die n Nullstellen der Funktion f(x) sind. a ist ein Vorfaktor, und zwar genau derselbe Vorfaktor, der in f(x) vor dem Summanden mit dem höchsten Exponenten steht.[/justify]

Zugegeben, das klingt alles ziemlich abstrakt. Schauen wir uns ein Beispiel an.[br][br]Gegeben sei die Funktion [math]f\left(x\right)=2x^3-10x^2-12x[/math]. Diese Funktion 3-ten Grades hat - wie wir gleich sehen werden - genau 3 Nullstellen. Die Aufgabe lautet nun, f(x) in die Linearfaktorzerlegung umzuschreiben.[br][br]1. Schritt: Nullstellen berechnen: [math]2x^3-10x^2-12x=0[/math][br] [math]x\left(2x^2-10x-12\right)=0[/math][br] [math]x=0[/math] oder [math]2x^2-10x-12=0[/math][br] [math]x_1=0[/math] MNF: [math]x_2=-1[/math], [math]x_3=6[/math][br][br]2. Schritt: Linearfaktorzerlegung aufschreiben: [math]f\left(x\right)=2\left(x-0\right)\left(x-\left(-1\right)\right)\left(x-6\right)[/math][br] oder vereinfacht: [math]f\left(x\right)=2x\left(x+1\right)\left(x-6\right)[/math][br][br]Durch Ausmultiplizieren können Sie nachrechnen, dass dieser Term tatsächlich äquivalent zum Ausgangsterm oben ist. Wie Sie sehen ist der Vorfaktor 2 in der Linearfaktorzerlegung derselbe wie der Faktor 2 vor dem x[sup]3[/sup] in dem Ausgangsterm. Von dort wird er auch einfach abgeschrieben.[br][br]Die Linearfaktorzerlegung hat den großen Vorteil, dass man die Nullstellen von f darin einfach ablesen kann. Also: [b]Immer freuen, wenn die Funktion einmal in dieser Form angegeben wird![br][br][/b]Abschließend können Sie nun Ihr Verständnis überprüfen und Einüben. Klicken Sie dazu das folgende Aufgabenblatt an und bearbeiten Sie die Aufgaben. Lösungen finden Sie ebenfalls auf dem Blatt.