Das Dreieck [i]ABC[/i] ist rechtwinklig mit rechtem Winkel bei [i]C[/i]. [br]Außerdem sieht [i]ABC [/i]gleichschenklig aus mit den Schenkeln [i]AC [/i]und [i]BC.[br][br][/i]Das Dreieck [i]ABC[/i] scheint gleichschenklig-rechtwinklig.

Mögliche Vermutungen: [i][br][br]MBF [/i]und [i]AMG [/i]bilden rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke.[br][i]MFCG [/i]ist ein Quadrat.[br]

[u][br]Eine mögliche Begründung[/u]: [br]Sie sind rechtwinklig an den Fußpunkten [i]G [/i]und [i]F [/i]und besitzen jeweils einen Winkel des Ausgangsdreiecks [i]ABC [/i]an den Eckpunkten [i]A[/i] und [i]B. [/i]Es folgt aus der Innenwinkelsumme, dass auch der dritte Winkel dieselbe Größe hat wie im Dreieck [i]ABC[/i] und somit [i]MBF [/i]und [i]AMG [/i]ebenfalls gleichschenklig-rechtwinklig sind.[br]

[u]Eine mögliche Begründung[/u]:[br]Das Viereck hat vier rechte Winkel und durch Achsensymmetrie mit Achse [i]MC [/i]gilt [i]|CF|=|CG| [/i]sowie [i]|AG|=|BF|. [/i]Da [i]AMG[/i] und [i]MBF[/i] gleichschenklig sind, ist auch [i]|AG|=|MG|[/i] sowie [i]|MF|=|BF|[/i], also ist auch |[i]MG|=|MF|.[/i]

[br][math]A_{AMG}[/math]+[math]A_{MBF}^{ }[/math] =[math]\frac{1}{2}\cdot[/math][math]A_{ABC}^{ }[/math]

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist [math]\frac{1}{2}a\cdot h[/math] , in diesem Fall gilt [math]A_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\left|AC\right|\cdot\left|BC\right|[/math] .[br][br][u]Mögliche Begründung:[/u][br]Der Flächeninhalt des Quadrates ist [math]A_{MFCG}=\left|CG\right|\cdot\left|CF\right|=\frac{1}{2}\cdot\left|AC\right|\cdot\frac{1}{2}\cdot\left|BC\right|[/math] =[math]\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot\left|AC\right|\cdot\left|BC\right|\right)=\frac{1}{2}\cdot A_{ABC}[/math] . Also ist die Summe der Flächeninhalte der Dreiecke [i]AMG [/i]und [i]MBF [/i]entsprechend [math]A_{AMG}+A_{BMF}=A_{ABC}-A_{MFCG}=A_{ABC}-\frac{1}{2}\cdot A_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot A_{ABC}[/math] [br][br][u]Alternative Begründung:[br][/u]Die Dreiecke [i]MBF [/i]und [i]AMG [/i]sind ähnliche Dreiecke des Dreiecks [i]ABC [/i]mit der Basis [i]AM [/i]bzw. [i]MB [/i]mit [math]\left|AM\right|=\frac{1}{2}\cdot\left|AB\right|[/math] und [math]\left|MB\right|=\frac{1}{2}\cdot\left|AB\right|[/math] . Sie sind zentrische Streckungen des Ausgangsdreieck [i]ABC [/i]mit dem Faktor [math]\frac{1}{2}[/math] , sodass jeweils für den Flächeninhalt gilt [math]A_{AMG}=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot\left|AC\right|\cdot\frac{1}{2}\left|CB\right|\right)=\frac{1}{4}\cdot A_{ABC}[/math][br]

Der Umfang des Dreiecks [i]AMG [/i]ist halb so groß wie der des Dreiecks [i]ABC[/i]. Jede Seite von [i]AMG [/i]ist halb so lang wie die entsprechende des Dreiecks [i]ABC [/i]und somit [br][math]U_{AMG}=\frac{1}{2}\cdot\left|AB\right|+\frac{1}{2}\cdot\left|BC\right|+\frac{1}{2}\cdot\left|CA\right|=\frac{1}{2}\cdot U_{ABC}[/math][br][br]Der Zusammenhang ist also : [math]U_{AMG}=\frac{1}{2}\cdot U_{ABC}[/math]