[b]Definition[/b][br]Ist M eine Menge und [math]f:M\rightarrow M[/math] eine Abbildung, dann heißt [math]x \in M[/math] [b]Fixpunkt von M[/b], wenn [math]f\left(x\right)=x[/math] ist.[br][br][b]Definition[/b][br]Seien [math]\left( X_1, d_1 \right)[/math] und [math]\left( X_2, d_2 \right)[/math] metrische Räume und sei [math]f: X_1 \rightarrow X_2[/math] eine Abbildung.[br]Dann heißt [b]f[/b] eine [b]Kontraktion[/b] oder [b]kontrahierende Abbildung[/b], wenn es eine Konstante L < 1 gibt mit [math]d_2(f(x), f(y)) \leq L \cdot d_1(x, y)[/math] für alle [math]x, y \in X_1[/math].[br]Eine Kontraktion ist also eine Lipschitz-Abbildung mit Lipschitz-Konstante kleiner als 1, insbesondere also stetig.[br][br][b]Satz (Banachscher Fixpunktsatz)[/b][br]Eine kontrahierende Abbildung [math]f:X\rightarrow X[/math] auf einem vollständigen metrischen Raum X besitzt genau einen Fixpunkt.[br]Ist [math]x_0\in X[/math] beliebig und ist die Folge [math]\left< x_n \right>[/math] definiert durch [math]x_n = f(x_{n-1})[/math] für [math]n\in \mathbf{N}[/math], dann konvergiert diese Folge gegen den Fixpunkt.[br][br][size=85](vgl. Hinrichs, A.: Analysis 2, Vorlesungsnotizen, Sommersemester 2018, Johannes Kepler Universität Linz)[/size]

[b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Position des Startwerts [math]x_0[/math].

Die Iteration kann auch in anderer Form dargestellt werden.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Wende durch mehrmalige Iteration den cos immer wieder auf das bereits erhaltene Ergebnis an.[br]Verändere den Startwert x.