Hier wird die Fläche zwischen zwei Kurven berechnet. Parameterfunktion - graphisch dargestellt.1.0 Gegeben ist die Funktion f(x)=1/4 (x^3- 12 x^2+ 36 x) mit D_f=R 1.1 Ermitteln Sie Koordinaten und Art aller Extrempunkte des Graphen. f´(x)=1/4 (3x^2- 24x + 36)=3/4 (x - 2)(x - 6) f´´(x)=3/4 (2x - 8)=3/2 (x -4) relative Extrempunkte: f´(x_e )= 0 ⇒ x^2- 8x + 12 = 0 x_(1/2)=(8±√(64-48))/2=(8±4)/2=4±2 x_e1= 2 ∨ 〖 x〗_e2= 6 f´´(x_e1)=-3 < 0 ; Rechtskrümmung HP (2/8) f´´(x_e2)=+3 < 0 ; Linkskrümmung TP (6/0) Randextrempunkte: f´(0)=9 > 0 ⇒ relativer Tiefpunkt (0 / 0) f´(8)=9 > 0 ⇒ relativer Hochpunkt (8 / 8) 1.2 Ermitteln Sie die maximalen Krümmungsintervalle und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. f´´(x)=3/2 (x - 4)>0 ⇒ (x - 4)>0 ⇒x > 4 Der Graph ist rechtsgekrümmt auf ├]-∞ ; 4] und linksgekrümmt auf [4 ;+ ∞ ┤[ ⇒ WEP (4 │ 4) 1.3 Stellen Sie die Gleichung der Wendetangente t_w (x) an den Graphen G_f auf. (2 BE) t_w (x)= m x + t ; WEP (4 │ 4) ⇒ 4 = 4m +t ; f´(4)=1/4 (3〖*4〗^2- 6 *4^2 +9/4 4^2 )=-3 t_w (x)= -3 x + 16 1.3 Zeichnen Sie den Graphen für G_f für 0≤x≤8 und die Wendetangente G_(t_w ) für 3≤x≤5 in ein kartesisches Koordinatensystem (Einheit 1 LE = 1cm). (4 BE)
2.0 Ferner ist die quadratische Funktion p mit D_p= R gegeben. Der zugehörige Graph G_P läuft durch den Ursprung und schneidet im Scheitelpunkt S (4 /4 ) den Graphen G_f. 2.1 Stellen Sie den Funktionsterm p(x) auf und tragen Sie G_P für 0≤x≤8 in die Zeichnung von 1.4 ein. (Ergebnis: p(x)= -1/4 x^2+ 2 x ) (6 BE) p(x)= a (x-4)^2+ 4 mit Ursprung O (0│0) ∈P⇒ 16 a + 4 = 0 ⇒ a = -1/4 p(x)= -1/4 (x-4)^2+ 4 2.2 Die Graphen G_f und G_P begrenzen zwei Flächenstücke. Berechnen Sie die Maßzahl des linken Flächenstücks. (6 BE) f(x)- p(x)= 0 1/4 x(x^2- 11 x+ 28 )=0 1/4 x(x-4)( x-7 )=0 A =∫_0^4▒〖1/4 (x^3- 11x^2+ 28x)dx = 〗 [1/4 (1/4 x^4-11/3 x^3 + 14 x^2)]_0^4=40/3 = 13.33 FE 3 Nun wird f verallgemeinert zur Parameterfunktion f_k (x)=1/4 (x^3- 12 x^2+ k^2 x) mit k ∈R und D_(f_k )= R. Bestimmen Sie Lage und Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von k. f_k (x_0 )= 0 ⇒ 1/4 (x^3- 12 x^2+ k^2 x) = 1/4 x(x^2- 12 x+ k^2 )=0 ⇒ x_0= 0 für alle k ∨ x^2- 12 x+ k^2 = 0 D = 144 - 4 k^2= 4 (36 - k^2 ) D<0: 36 - k^2<0 ⇒ k^2> 36 ⇒ k < -6 ∨ k > 6 dann keine weiteren Nullstellen f_k hat genau eine NST D=0: 36 - k^2=0 ⇒ k^2= 36 ⇒ k_1= -6 ∨ k_2= 6 x^2- 12 x+ 36 = (x-6)^2= 0 ⇒ x_0= 6 f_(-6) und f_(+6) haben 2 NST (einfache bei 0 und doppelte bei +6) D>0: 36 - k^2>0 ⇒ k^2< 36 ⇒ -6 < k < 6 x_0=1/2(12± √(4(36-k^2 ) )=6± √(36-k^2 ) jetzt hat f_k 3 NST für k ≠0 und 2 NST für k=0 3. Schulaufgabe Mathematik Schönbrunn 2013