重心外心関係と等角共役

Bunryu Kamimura, Nov 9, 2017

重心と外心のような関係を外重関係と名づける。 このようなペアは他にもあるのだろうか？ まず、４ペアがすぐに見つかる。 では、そこには何か意味があるのだろうか？ この場合の意味とは、現象の中に潜む法則の事である。 どんな法則が見つかるのだろうか。

Table of Contents

  1. 外心と重心
    1. 重心と外心
    2. 外心と重心の関係
    3. 重外関係を見つける
    4. 外心と重心の関係（９組）
  2. 垂足円と等角共役点
    1. 垂足三角形と中点三角形
    2. ９点円の拡張(垂足円）
    3. 垂足円
    4. 重外関係と垂足円
  3. 重外関係と垂足三角形
    1. 重外関係にある点の垂足円
    2. 重外関係と垂足円
    3. 重外関係と等角共役
    4. X20とX1498の等角共役点
    5. 外心点と等角共役点
    6. 外心点の分類
  4. チェバ円共役点
    1. チェバ円共役点
    2. 垂線とチェバ線がそれぞれ一点で交わる点
    3. チェバ線の足から引いた垂線が一点で交わる場合の軌跡

1.

外心と重心

重外関係(外心点)　　等角共役　　重外関係(重心点) 　Ｇ　・・・　　Ｏ　―――　Ｈ　・・・　Ｈ Ｎａ　・・・　Ｘ４０　―――Ｘ８４・・・Ｘ１８９ Ｘ１４９８・・・Ｘ２０―――Ｘ６４・・・Ｘ２５３ Ｘ２０・・・Ｘ１４９８―――Ｄ2・・・Ｘ１４３２ 何かありそう！ 「どういう条件の時、重外関係になるのか？」 直観的に、 等角共役と重外関係にはつながりがありそう。

  • 1. 重心と外心
  • 2. 外心と重心の関係
  • 3. 重外関係を見つける
  • 4. 外心と重心の関係（９組）

1.1.

重心と外心

頂点から重心を通り、対辺で垂直に反射すると一点で交わる。この点が外心である。この様な関係を持つ点は他にあるのだろうか？
– Bunryu Kamimura

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

2.

垂足円と等角共役点

外心と垂心は等角共役点である。 垂心は自分自身と重外関係になっている。 この等角共役点は垂足円の辺との交点の垂心として求めることができる。

  • 1. 垂足三角形と中点三角形
  • 2. ９点円の拡張(垂足円）
  • 3. 垂足円
  • 4. 重外関係と垂足円

2.1.

垂足三角形と中点三角形

垂足三角形と中点三角形の関係
– Bunryu Kamimura

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

重外関係と垂足三角形

重外関係になっている点を１２組求めることができた。 たぶん、まだたくさんあると思う。 ここで気がついたことは、重心→外心関係の重心にあたるのか、 それとも外心にあたるのか区別しないと混乱するということ。 そこで、 重心にあたる方を[b]重心点[/b]、外心にあたる方を[b]外心点[/b]とする。 こうやってこれらの点を調べていたら、ある仮説が思い浮かんだ。 それは、 「等角共役点の一方が外心点ならば、もう一方の共役点も外心点である。」

  • 1. 重外関係にある点の垂足円
  • 2. 重外関係と垂足円
  • 3. 重外関係と等角共役
  • 4. X20とX1498の等角共役点
  • 5. 外心点と等角共役点
  • 6. 外心点の分類

3.1.

重外関係にある点の垂足円

青い点は等角共役点を求める点。これでどの点とどの点が等角共役であるかわかる。不思議なことに外重関係の点は等角共役点が多い。それは、等角共役のもう一つの作り方である垂足円の作り方と同じだからだ。そこで、さらに等角共役の２点で垂足円を作ってみる。すると・・・
– Bunryu Kamimura

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

4.

チェバ円共役点

この共役点を用いると仮説が証明できる。

  • 1. チェバ円共役点
  • 2. 垂線とチェバ線がそれぞれ一点で交わる点
  • 3. チェバ線の足から引いた垂線が一点で交わる場合の軌跡

4.1.

チェバ円共役点

Cyclocevian Congugatesを無理やり訳して、「チェバ円共役点」とした。この円はチェバ三角形が作る円。もう一つの交点から共役点ができる。等角共役点や等距離共役点と比較してみよう。いずれもＤの共役点。Ｄを重心に重ねると、・・・重心の「チェバ円共役点」は？　この時の円は？
９点円と外接楕円
等角共役点が外心と垂心のとき、垂足円は９点円になる。[br]チェバ円共役点が重心と垂心のとき、チェバ円は９点円になる。[br]等距離共役点の場合は円ではなく楕円となる。[br]（これはまだ証明していない）[br]では、この楕円が傍接円と接する共役点はどこにあるのだろうか？[br][br]このチェバ円のもう一方点へのチェバ線が一点で交わることの証明は[br]Ｄが一点で交わることからチェバの定理を用いて、もう一方の点についてもチェバの定理が成り立つことを示せばいい。[br]
チェバ円と三角形のもう一つの交点へのチェバ線が一点で交わることの証明
示したいことは、[math]\frac{AH}{HB}\cdot\frac{BJ}{JC}\cdot\frac{CI}{IA}=1[/math]　　(1)[br][br]方べきの定理により、[math]\frac{AH}{AI}=\frac{AF}{AG},\frac{BE}{BF}＝\frac{BJ}{BH},\frac{CJ}{CG}=\frac{CI}{CF}[/math]　　　(2)[br][br]チェバの定理により、Ｄについて[math]\frac{AE}{EB}\cdot\frac{BF}{FC}\cdot\frac{CG}{GA}=1[/math]が成立する。　　(3)[br](3)を(2)で置き換えると、(1)が現れる。[br]よってチェバの定理により一点で交わる。[br]この点をＤのチェバ円共役点と名付ける。
– Bunryu Kamimura

4.2.

–

4.3.

–

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