[size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[br][color=#ff7700][b]nachbearbeitet: Juli 2021[/b][/color][/right][/size][color=#cc0000][i][b][size=100]Bizirkulare Quartiken: Musterkonstruktionen[/size][/b][/i][/color]

[size=50]Die Objekte der [b]hyperbolischen Ebene[/b] im[/size] [size=50][b]POINCARÉ[/b]schen Kreisscheiben-Modell:[/size][br][size=50]PUNKTE sind die Punkte im Inneren des (gelben) [color=#BF9000][i][b]"absoluten" Kreises[/b][/i][/color]. [br]GERADEN sind die im Inneren verlaufenden [color=#ff0000][i][b]Kreisbögen[/b][/i][/color] von Kreisen, die [color=#0000ff][i][b]orthogonal[/b][/i][/color] zum [color=#BF9000][i][b]absoluten Kreis[/b][/i][/color] sind.[/size] [br][size=50]KREISE sind [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color], sie stehen senkrecht auf den GERADEN durch einen PUNKT [b]p[/b]. Es sind die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschels[/b][/i][/color] mit dem PUNKT [b]p[/b][br]und dessen im Äußeren liegenden am absoluten Kreis gespiegelten Punkt [b]p'[/b] als Büschelpunkten. [/size]

[size=85]Benötigte Grund-Konstruktionen:[br][list][*]KREIS [color=#0000ff][b]k[/b][/color] um einen PUNKT [b]M[/b] durch einen PUNKT [b]P[/b][/*][*]MITTELSENKRECHTE [i][b]m[/b][/i] zu 2 PUNKTEN [b]P[/b] und [b]Q[/b] [/*][*]GERADE [color=#ff0000][b]g[/b][/color] durch 2 PUNKTEN [b]P[/b] und [b]Q[/b][/*][*]die WINKELHALBIERENDEN [color=#741B47][i][b]w[sub]1[/sub][/b][/i][/color] und [color=#741B47][i][b]w[sub]2[/sub][/b][/i][/color] von 2 sich schneidenden Geraden[b] [color=#ff0000]g1[/color] [/b]und [b][color=#ff0000]g[sub]2[/sub][/color][br][/b][/*][/list]Die [i][b][color=#0000ff]LEITKREIS[/color]-Konstruktion[/b][/i] zu zwei BRENNPUNKTEN [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color] und [color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color]:[list=1][*]Zeichne einen KREIS [color=#0000ff][b]c[sub]L[/sub][/b][/color] um [color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color] ([color=#0000ff][i][b]LEITKREIS[/b][/i][/color])[/*][*][color=#00ff00][color=#000000]Zeichne zu[/color][b][color=#000000] [color=#00ffff]q[/color] [/color][/b][color=#000000]auf [/color][/color][color=#00ff00][color=#000000][size=85][color=#0000ff][b]c[sub]L[/sub][/b][/color][/size] die [color=#741B47]MITTELSENKRECHTE[/color] [i][color=#741B47][b]m[/b][/color][/i] von [color=#00ffff][b]q[/b][/color] und [b][color=#00ff00]f[sub]1[/sub][/color][/b][/color][/color][/*][*][color=#00ff00][color=#000000]Die GERADE [b][color=#ff0000]g[sub]2[/sub][/color][/b] = [b][color=#00ff00][color=#00ffff]q[/color]f[sub]2[/sub] [/color][/b]schneidet [/color][/color][color=#00ff00][color=#000000][size=85][color=#00ff00][color=#000000][i][color=#741B47][b]m[/b][/color][/i][/color][/color][/size] in einem Punkt [color=#ff7700][b]p[/b][/color] der [b][color=#ff7700]Quartik[/color][/b].[/color][/color][/*][*][color=#00ff00][color=#000000][color=#741B47][i][b]m[/b][/i][/color] ist WINKELHALBIERENDE der GERADEN [color=#ff0000][b]g[sub]1[/sub][/b][/color] = [color=#ff7700][b]p[/b][/color][color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color] und [color=#ff0000][b]g[sub]2[/sub][/b][/color] und TANGENTE der [color=#ff7700][b]Quartik[/b][/color].[br][/color][/color][/*][/list][br]Die [i][b]Gärtner-Konstruktion[/b][/i] zu 2 BRENNPUNKTEN [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color] und [color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][color=#000000] durch[/color][/color] einen Punkt [color=#ff7700][b]p[/b][/color]:[br][list=1][*]Zeichne die beiden BRENNSTRAHLEN [color=#ff0000][b]g[sub]1[/sub][/b][/color] = [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color][color=#ff7700][b]p[/b][/color] und [color=#ff0000][b]g[sub]2[/sub][/b][/color] = [color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color][color=#ff7700][b]p[/b][/color] [br][/*][*]Zeichne eine der WINKELHALBIERENDEN [color=#cccccc][i][b]m[/b][/i][/color][/*][*]Spiegele [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color] an [color=#cccccc][i][b]m[/b][/i][/color], [color=#00ffff][b]q[/b][/color] sei der SpiegelPUNKT[/*][*]Der KREIS um [color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color] durch [color=#00ffff][b]q[/b][/color] ist [color=#0000ff][b]LEITKREIS[/b][/color] der [color=#ff7700][b]Quartik[/b][/color][/*][/list][/size][size=85]Liegt [color=#00ffff][b]q[/b][/color] auf der STRECKE [b][color=#00ff00]f[sub]2[/sub][/color][color=#ff7700]p[/color][/b], so ist die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] eine hyperbolische HYPERBEL, andernfalls ist sie eine hyperbolische ELLIPSE, [br]konstruiert mit der hyperbolischen Gärtnerkonstruktion![br]Bewege dazu den Punkt [color=#00ffff][b]q[sub]L[/sub][/b][/color].[/size]

[size=85]Die [color=#0000ff][i][b]elliptische Konstruktion[/b][/i][/color] einer 2-teiligen [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color] ist nicht leicht darzustellen:[br]Auf der [color=#0000ff][b]Möbius-Kugel[/b][/color] besitzt eine solche [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] einen [color=#B45F06][i][b]Symmetrie-Punkt[/b][/i][/color] innerhalb der [color=#0000ff][i][b]Kugel[/b][/i][/color].[br]Von diesem [/size][size=85][size=85][color=#B45F06][i][b]Punkt[/b][/i][/color][/size] wird die [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color][/size] auf die außerhalb der [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]Kugel[/b][/i][/color][/size] liegende [i][b]Polar-Ebene[/b][/i] projiziert, das[br]ergibt in dieser einen [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color], der mit den Werkzeugen der [color=#0000ff][i][b]elliptischen Ebene[/b][/i][/color] konstruiert wird.[br]Bei der Projektion werden immer 2 gegenüberliegende Punkte auf einen PUNKT projiziert; [br]im Applet oben sind die zusammengehörenden Punkte gleich bezeichnet.[br]Die Konstruktion der [color=#0000ff][i][b]elliptischen[/b][/i][/color] HYPERBELN oder ELLIPSEN ist analog zum Vorgehen in der [color=#0000ff][i][b]hyperbolischen Ebene[/b][/i][/color] - [br][/size][size=85]zu ersetzen sind nur die [color=#0000ff][i][b]hyperbolischen[/b][/i][/color] Objekte durch die entsprechenden [color=#0000ff][i][b]elliptischen[/b][/i][/color]![/size]

[size=50]In der vielleicht scheinbar vertrauten [color=#0000ff][i][b]euklidischen Welt[/b][/i][/color] sind GERADEN Geraden und KREISE Kreise. [br]Wobei [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ohne den Abstandsbegriff auch als [i][b]Ortskurven[/b][/i] definiert werden können: [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] schneiden die [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] eines [color=#ff0000][i][b]Geradenbüschels[/b][/i][/color] senkrecht.[/size][size=50] [br]In der [color=#0000ff][i][b]äquiformen Geometrie[/b][/i][/color] sind auch [i][b]Streckungen[/b][/i] zugelassen, ein invarianter [color=#0000ff][i]Abstandbegriff[/i][/color] ist damit nicht mehr möglich. [br]Dennoch sind [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] - und mit der obigen Konstruktion auch die [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] Objekte dieser [color=#0000ff][i][b]äquiformen[/b][/i][/color] Geometrie. [/size][size=50][br]Neben den [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] und den [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] gibt es in der [color=#0000ff][i][b]äquiformen ebenen Geometrie[/b][/i][/color] [/size][size=50][size=50]zusätzliche [/size]schöne einfache Kurven:[br] die [color=#9900ff][i][b]logarithmischen Spiralen[/b][/i][/color] sind Bahnkurven von einparametrischen Untergruppen - komplex definiert zB. [math]z\left(t\right):=z_0+e^{t\cdot w}\cdot z_1[/math] mit [math]z_0,z_1,w\in\mathbb{C}[/math]. [br][size=85][br]Für die oben konstruierten "[color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color]" ist [math]\infty[/math] ein [color=#666666][i][b]doppelt-zählender[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color].[br][color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] [color=#0000ff][b]c[sub]L[/sub][/b][/color] sind die um [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color] konzentrischen [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color].[br]Für Punkte [color=#00ffff][b]q[/b][/color] auf [/size][/size][size=50][size=85][size=50][size=85][color=#0000ff][b]c[sub]L[/sub][/b][/color][/size][/size] sind die [i][color=#0000ff][b]Mittelsenkrechten[/b][/color][/i] zu [b][color=#00ffff]q[/color][color=#00ff00]f[sub]2[/sub][/color][/b] [color=#999999][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color], der [color=#ff0000][i][b]Brennstrahl[/b][/i][/color] [b][color=#00ffff]q[/color][color=#00ff00]f[sub]1[/sub][/color][/b] schneidet die [/size][/size][br][size=50][size=85][size=50][size=85][color=#999999][i][b]Tangente [/b][/i][/color][/size][/size]in einem [color=#ff7700][i][b]Punkt[/b][/i][/color] der "[/size][/size][size=50][size=85][size=50][size=85][color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color][/size][/size]" - diese Konstruktion ist die [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]-Konstruktion von[color=#ff7700][i][b] Kegelschnitten[/b][/i][/color]![br][br]Unten: [math]\infty[/math] ist ein 3-fach zählender [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]. Die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] ([color=#ff7700][i][b]Parabel[/b][/i][/color]) besitzt nur einen [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreis[/b][/i][/color].[br]Der [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color] ist eine [color=#0000ff][i][b]Gerade[/b][/i][/color].[/size][/size]

[size=85]Transformiert man den [color=#666666][i][b]doppelt-zählenden[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] "[math]\infty[/math]" mit einer [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color] nach [math]\infty[/math],[br]so wird die [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color] zu einem zweiachsigen [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color].[/size]

[size=85]Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color], [color=#00ff00][b]f'[sub]1[/sub][/b][/color] und [color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color], [color=#00ff00][b]f'[sub]2[/sub][/b][/color] liegen [color=#BF9000][i][b]spiegelbildlich[/b][/i][/color] auf zwei [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color].[br][color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] sind für [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color], [color=#00ff00][b]f'[sub]1[/sub][/b][/color][/size] die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] des [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color], für [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color], [color=#00ff00][b]f'[sub]2[/sub][/b][/color][/size] die des [color=#ff0000][i][b]hyperbolischen Kreisbüschels[/b][/i][/color]. [br][color=#00ffff][b]q[/b][/color] und [/size][size=85][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color][/size][/size] liegen spiegelbildlich zum [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden Kreis[/b][/i][/color]![/size]

[size=85]Wie lassen sich diese [color=#ff7700][i][b]Kurven[/b][/i][/color] in der [color=#0000ff][i][b]hyperbolischen Ebene[/b][/i][/color] geometrisch deuten?[br]Im [b]POINCARÉ[/b]schen Kreisscheiben-Modell oben liegt ein [color=#00ff00][i][b]BRENNPUNKT[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f'[sub]1[/sub][/b][/color] vor ([color=#0000ff][i][b]hyperbolisch[/b][/i][/color] identisch mit [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color]).[br]Die GERADEN durch [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color][/size] bilden die eine [color=#ff0000][i][b]BRENNGERADEN[/b][/i][/color]-Schar (es sind die zum [color=#f1c232][i][b]absoluten Kreis[/b][/i][/color] orthogonalen [br][color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] durch [/size][size=85][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color][/size][/size], [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][b]f'[sub]1[/sub][/b][/color][/size] ). Die Schar der anderen [color=#ff0000][i][b]BRENNGERADEN[/b][/i][/color] sind die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color], welche auf den [/size][br][size=85][size=85][color=#f1c232][i][b]absoluten Kreis [/b][/i][/color][/size]und dem [color=#00ff00][i][b]grünen Kreis[/b][/i][/color] durch [color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color], [color=#00ff00][b]f'[sub]2[/sub][/b][/color] senkrecht stehen. Hyperbolisch eine PARALLELEN-Schar.[br]Die [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color] sind Winkelhalbierende dieser beiden [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]BRENNGERADEN[/b][/i][/color][/size]-Scharen.[br][/size]