P is a free point whithin the triangle ABC. The isogonal conjugate of P is constructed as follows:[br][list][*]Construct the bisectors of the triangle.[/*][*]Construct the lines AP, BP, and CP.[/*][*]Construct the reflections of these lines about the bisectors in the same vertex.[/*][*]These lines cross at P', the isogonal conjugate of P.[/*][/list]For the square root point the [url=http://mathworld.wolfram.com/TrilinearCoordinates.html]trilinear coordinates[/url] are a[sup]1/2[/sup] : b[sup]1/2[/sup] : c[sup]1/[/sup]2.[br]Note that the trilinear coordinates of the isogonal conjugate become a[sup]-1/2[/sup] : b[sup]-1/2[/sup] : c[sup]-1/[/sup]2.[br]The barycentric coordinates of a point with trilinear coordinates x : y : z are ax : by : cz (where a, b, and c are the lengths of the sides of the triangle). [br]So for the isogonal conjugate of the sqare root point we get a . a[sup]-1/2[/sup] : b . b[sup]-1/2[/sup] : c . c[sup]-1/[/sup]2 =[b] a[sup]1/2[/sup] : b[sup]1/2[/sup] : c[sup]1/[/sup]2[/b].[br]The barycentric coordinates of this point depend on the lenghts of the sides of the triangle.

P is een vrij punt binnen de driehoek ABC. De isogonale toegevoegde van P construeer je als volgt:[br][list][*]Construeer de bissectrices van de driehoek.[/*][*]Construeer de lijnen AP, BP en CP.[/*][*]Construeer de spiegelbeelden van deze lijnen t.o.v. de bissectrices vanuit hetzelfde hoekpunt.[/*][*]Deze lijnen snijden elkaar in P', het isogonale toegevoegde van P.[/*][/list]De [url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Trilineaire_co%C3%B6rdinaten]trilineaire coördinaten[/url] van het vierkantswortelpunt zijn a[sup]1/2[/sup] : b[sup]1/2[/sup] : c[sup]1/[/sup]2.[br]Merk op dat de trilineaire coördinaten van het isogonale toegevoegde gelijk zijn aan a[sup]-1/2[/sup] : b[sup]-1/2[/sup] : c[sup]-1/[/sup]2.[br]De barycentrische coördinaten van een punt met trilineaire coördinaten x : y : z zijn ax : by : cz (hierin zijn a, b, and c are de lengtes van de zijden van de driehoek). [br]Voor het isogonale toegevoegde punt van het vierkantswortelpunt krijgen we dus: [br]a . a[sup]-1/2[/sup] : b . b[sup]-1/2[/sup] : c . c[sup]-1/[/sup]2 = [b]a[sup]1/2[/sup] : b[sup]1/2[/sup] : c[sup]1/[/sup]2[/b].[br]De barycentrische coördinaten van dit punt worden bepaald door de lengtes van de zijden van de driehoek.[br]