Spezielle Relativitätstheorie SRT - Theory Of Relativity
Table of Contents
- Axiome
- Die Axiome der Speziellen Relativitätstheorie
- Galilei-Tranformation
- Die Annahmen der klassischen Physik
- Die Galilei - Transformation
- Raum-Zeit-Diagramme (Weltdiagramme)
- Raum-Zeit-Diagramme für die Galilei-Transformation
- Verbesserung
- Herleitung des Faktors k
- Lorentz-Transformation
- Lorentztransformation
- Minkowski-Diagramme
- Minkowski-Diagramme
- Konstruktion der Minkowski-Diagramme
- Zeitdilatation
- Zeitdilatation 1
- Zeitdilatation 2
- Längenkontraktion
- Längenkontraktion 1: L → L´
- Längenkontraktion 2: L´ → L
- Ereignisse
- Ereignisse
- Geschwindigkeitsaddition
- Addition von Geschwindigkeiten 1
- Addition von Geschwindigkeiten 2
- Addition von Geschwindigkeiten
- Herleitung der Geschwindigkeitsaddition
- E = m·c²
- Die relativistische Masse
- Die relativistische Energie
- Übungen
Die Axiome der Speziellen Relativitätstheorie
Im Jahre 1905 formulierte [b]Albert Einstein[/b] in seinem Werk "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" die [b]grundlegenden Prinzipien[/b] der [b]Speziellen Relativitätstheorie SRT[/b].[br][br][b]Allgemeines Relativitätsprinzip[/b][br]Kein Inertialsystem ist vor dem anderen ausgezeichnet; alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt. [br]In allen Inertialsystemen nehmen die Naturgesetze dieselbe Form an.[br] [br][b]Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit[/b][br]Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist eine absolute Konstante und ist in allen Inertialsystemen (d.h. für jeden Beobachter) stets gleich groß.[br]Alle Schlussfolgerungen, die in der Speziellen Relativitätstheorie entwickelt werden, lassen sich aus diesen beiden Axiomen ableiten.[br]
Die Annahmen der klassischen Physik
Als [b]Voraussetzung[/b] für die klassische Mechanik gilt:[list][*][b]Länge, Masse und Zeit[/b] sind vom Ort und vom Bewegungszustand unabhängig; sie sind gegen die Wahl eines Bezugssystems [b]invariant[/b]; sie sind invariante (unveränderliche) Größen. [/*][*]In der klassischen Physik wird eine [b]universelle Zeitskala[/b] verwendet.[/*][*][b]Geschwindigkeiten[/b] können [b]beliebig addiert[/b] werden[/*][*]Es existiert eine [b]absolute Gleichzeitigkeit von Ereignissen[/b] für Beobachter in verschiedenen Bezugssystemen.[/*][/list]Einige Überlegungen und Beobachtungen zeigen allerdings, dass diese Annahmen nicht allgemein gültig sein können.[br][list][*]So konnte zum Beispiel in dem berühmten [b]Versuch von Michelson und Morley[/b] der Äther, der als Trägermedium für Licht angenommen wurde und als absolutes Bezugssystem verwendet werden könnte, nicht nachgewiesen werden.[/*][*]Auch erwiesen sich die grundlegenden Gleichungen der Elektrodynamik, die [b]Maxwell-Gleichungen[/b], als [b]nicht invariant[/b]bezüglich der Galilei-Transformation, d.h. sie behalten bei einem Wechsel des Bezugssystems nicht ihre Form bei.[/*][/list][br][i]Die [b]Spezielle Relativitätstheorie[/b] behandelt nur Bezugssysteme, die in Ruhe sind oder sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Diese Bezugssysteme werden [b]Inertialsysteme [/b] genannt, weil hier der [b]Trägheitssatz[/b] (Trägheit, lat. inertia) gilt. In Inertialsystemen gilt die Newtonsche Mechanik.[br][/i][br]In beschleunigten Bezugssystemen treten sogenannte [b]Trägheitskräfte[/b] (z.B. Coriolis-Kraft,...) auf, sodass eine grundlegend andere Situation gegeben ist. Darauf wird in der [b]Allgemeinen Relativitätstheorie[/b] eingegangen.
Lorentztransformation
Im letzten Punkt [b]"Verbesserung" [/b]- [i]Von der Galilei- zur Lorentz-Transformation[/i] wurde der [b]Faktor k[/b] und damit auch schon die Koordinatentransformationen für x' und t' in einer Herleitung ermittelt.[br]Die Rücktransformation erhält man einfach durch die [b]relativistische Vertauschung,[/b] wobei die Koordinaten für y und z außer Acht gelassen werden.[br][br][table][tr][td][b]Transformation[/b][/td][td][/td][td][b]Rücktransformation[/b][/td][/tr][tr][td][math]\mathbf{x'= \frac{x-v\cdot t}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}}}[/math][br][br][math]y'=y[/math][br][br][math]z'=z[/math][br][br][math]\mathbf{t'= \frac{t - \frac{v}{c^2}\cdot x}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}}}[/math][br][/td][td][math]\Longleftrightarrow[/math][/td][td][math]\mathbf{x= \frac{x' + v\cdot t'}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}}}[/math][br][br][math]y = y'[/math][br][br][math]z = z'[/math][br][br][math]\mathbf{t= \frac{t' + \frac{v}{c^2}\cdot x'}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2}}}}[/math][/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]
Minkowski-Diagramme
[b]Minkowski-Diagramme[/b] sind eine Weiterentwicklung der Raum-Zeit-Diagramme für die Galilei-Transformation, die nun eine Darstellung in relativistischer Sicht entsprechend den Axiomen der SRT geben.[br][br]Die [b]Skalierung[/b] der Achsen sind in Einheit von Lichtsekunden (Ls) für die Raumkoordinate x und in Sekunden (s) für die Zeitkoordinate t angegeben; dadurch beträgt die [b]Lichtgeschwindigkeit[/b] in diesem Maßsystem [b]c = 1[/b] Ls/s und kann als Gerade mit Steigung 1 eingezeichnet werden.[br][br][b]Aufgabe[/b]: [br][list][*]Verändern Sie die [color=#008000]Geschwindigkeit v[/color] und beobachten Sie die Änderung in den Koordinatenachsen für das bewegte Inertialsystem![br][/*][/list]
Zeitdilatation 1
Die [b]Zeitdilatation[/b] besagt, dass Uhren in einem bewegten Inertialsystem I' gemessen von einem Beobachter im ruhenden Inertialsystem I aus um den Faktor [math]\frac{1}{k}[/math] langsamer gehen.[br][br][center] [math]t'=t\cdot\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}[/math][/center][br]Das Zeitintervall T = 1 im Inertialsystem I erscheint in den Koordinaten von I' verkürzt, und zwar umso stärker, je größer die Relativgeschwindigkeit zwischen den Bezugsystemen ist.[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Verändern Sie die [color=#008000][b]Geschwindigkeit v[/b][/color] oder die [b][color=#0000FF]Zeitkoordinate t[/color][/b] und beobachten Sie die Auswirkungen auf die Zeit-Koordinate t' in I'![/*][/list]
Längenkontraktion 1: L → L´
Die [b]Längenkontraktion[/b] besagt, dass eine Länge L' in einem bewegten Inertialsystem einem ruhenden Beobachter um den Faktor [math]\frac{1}{k}[/math] verkürzt erscheint . [br][center][math]L'=L\cdot\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}[/math][/center]Die Länge L im Inertialsystem I erscheint in den Koordinaten von I' verkürzt, und zwar umso stärker, je größer die Relativgeschwindigkeit v zwischen den Bezugsystemen ist![br][br][b]Aufgabenstellung[/b][br][list][*]Verändern Sie die [b][color=#0000FF]Länge L[/color][/b] oder die[b][color=#008000]Relativgeschwindigkeit v[/color][/b] zwischen den Inertialsystemen und beobachten Sie die Länge L' im bewegten Bezugssystem![br][/*][/list]
Ereignisse
Ein Ereignis wird in zwei Inertialsystemen I und I' mit jeweils unterschiedlichen (x, t)- bzw. (x', t') - Koordinaten beschrieben:[br][br][list][*]für das [b]ruhende[/b] [b]Inertialsystem I[/b] gelten [b][color=#0000FF]rechtwinkelige Koordinaten[/color][/b], [br][/*][*]für das (relativ dazu) [b]bewegte System I'[/b] gelten die entsprechenden [b][color=#FF0000]schiefwinkeligen Koordinaten[/color][/b].[br][/*][/list][br][br][b]Aufgabenstellung[/b]:[br][list][*]Bewegen Sie den [color=#0000FF][b]Punkt E[/b][/color] oder verändere die[color=#008000][b] Relativgeschwindigkeit v[/b][/color] zwischen den Inertialsystemen.[/*][/list] [br][b]Beobachtung[/b]:[br]Mit zunehmender Relativgeschwindigkeit v zwischen den Inertialsystemen kann ein Ereignis, das bisher positive Zeitkoordinaten besaß, nun negative Koordinaten erhalten.
Addition von Geschwindigkeiten 1
Auch die Addition von Geschwindigkeiten wird durch die Spezielle Relativitätstheorie verändert, da eine Geschwindigkeit über der Lichtgeschwindigkeit c nicht möglich ist.Herleitung für die Formel zur Addition von Geschwindigkeiten[br][br]Für die [b]Addition von Geschwindigkeiten [/b] gilt: [br][br][center] [math]u=\frac{u'+v}{1+\frac{u'\cdot v}{c^2}}[/math][/center][b]u [/b]Geschwindigkeit in I; [b]u' [/b]Geschwindigkeit in I'; [b]v [/b]Relativgeschwindigkeit[br][br][b]Aufgabenstellung[/b]:[br][list][*]Verändern Sie die [color=#008000][b]Relativgeschwindigkeit v[/b][/color]zwischen den Inertialsystemen oder die [color=#FFCC00][b]Geschwindigkeit u'[/b][/color] im Inertialsystem I'.[/*][/list][b][br]Hinweis[/b]: Die Geschwindigkeit u wird im Inertialsystem I gemessen, indem man den [b][color=#0000ff]zurückgelegten Weg[/color][/b] nach 1s im rechtwinkeligen Koordinatensystem misst.[br][br][i][b]Beobachtung[/b]:[br]Es ist [b]nicht möglich[/b], durch Addition von 2 Geschwindigkeiten in der Größenordnung von c als Summe [b]eine Geschwindigkeit zu erhalten, die über der Lichtgeschwindigkeit c liegt.[/b][/i][br][br]
Die relativistische Masse
Eine der zentralen Aussagen der Speziellen Relativitätstheorie SRT ist, dass die [b]Lichtgeschwindigkeit c nicht überschritten[/b] werden kann.[br]Nach der klassischen Mechanik kann aber ein Körper mit der Masse m beliebig lang beschleunigt werden und damit jede erdenkliche Geschwindigkeit erreichen.[br]Was bedeutet dies für die Durchführung der Rechnung entsprechend der SRT? Wo muss eine Änderung im Vergleich zur klassischen Physik gemacht werden?[br][br][b]Gedankenexperiment[/b][br]Nehmen wir einmal an, dass sich zwei Kugeln mit gleicher Masse m, etwa durch eine Feder in Bewegung gesetzt, in unterschiedlicher Richtung entlang der z-Achse mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.[br]Diese Bewegung wird von 2 Inertialsystemen I und I' aus beobachtet, die sich mit der Relativgeschwindigkeit v zueinender bewegen. Dabei nennen wir die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln v[sub]I[/sub] und v[sub]I'[/sub] .[br][br][b]Aufgabe[/b]:[list][*]Betrachten Sie die Bewegung des [color=#FF0000][b]Koordinatenursprungs O'[/b][/color] des bewegten Inertialsystems I' und die Massen [b][color=#38761d]m[/color][/b] bzw [b][color=#ff0000]m'[/color].[/b][/*][/list]
Der [b]Impuls p = m·v [/b]vor dem Beginn der Bewegung der beiden Kugeln betrug 0, also muss er laut [b]Impulserhaltungssatz[/b] auch weiterhin 0 betragen.[br][br][b]Ansatz m[b]·[/b]v[sub]I[/sub] = m'[b]·[/b]v[sub]I'[/sub][/b][br] [center] [math]m\cdot\frac{\Delta z}{\Delta t}=m'\cdot\frac{\Delta z}{\Delta t}[/math][/center][br][u]Achtung[/u]: Für die Zeitdilatation gilt zwar [math]t'=t\cdot\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}[/math] ; Zeitintervalle erscheinen allerdings mit [math]\Delta t'=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/math] verlängert![br][br]Es folgt mit [math]\Delta z'=\Delta z[/math] [br][center] [math]m\cdot\frac{\Delta z}{\Delta t}=m'\cdot\frac{\Delta z}{\Delta t} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}[/math] [/center][br]und daraus[br][center][math]m'=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/math] ,[/center][br]das aber meist in der folgenden Form geschrieben wird.[br][br][br][b]Relativistische Massenzunahme[br] [br]Bewegt sich ein Körper mit Ruhemasse m[sub]0[/sub] mit der Geschwindigkeit v, so erscheint seine Masse für einen ruhenden Beobachter auf den Wert m der relativistischen Masse vergrößert.[/b][br][center][math]m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}[/math] [/center] m relativistische Masse, m[sub]0[/sub] Ruhemasse, v Relativgeschwindigkeit, c Lichtgeschwindigkeit
Darstellung der Massenzunahme
Das folgende interaktive Applet zeigt, [br](1) welchen Wert die [b][color=#0000ff]relativistische Masse [/color][/b]bei einer bestimmten Geschwindigkeit annimmt und [br](2) welche [b][color=#45818e]Geschwindigkeit[/color][/b] erreicht werden muss, um eine bestimmte relativistische Masse zu erhalten.[br][br][b]Aufgabe[/b][list][*]Verändern Sie die [color=#0000FF][b]Relativgeschwindigkeit v[/b][/color] und lesen Sie die relativistische Massenzunahme ab![/*][*]Verändern Sie die [b][color=#008000]Masse m[/color][/b] und beobachten Sie, bei welcher Geschwindigkeit dieser Massenwert erreicht wird.[/*][/list]