Trigonometrikus függvények
Az lánc a trigonometrikus függvények származtatásával, ábrázolásával és transzformációjával és annak gyakorlásával foglalkozik.
Table of Contents
- A szinuszfüggvények származtatása
- A sin függvények származtatása
- A tangensfüggvény származtatása
- A tangensfüggvény származtatása
- Szinuszok forgóvektorral
- Szinuszok forgóvektorral
- A cos függvények származtatása
- A koszinuszfüggvények származtatása
- A kotangens függvény származtatása
- A kotangensfüggvény származtatása
- Szinuszfüggvény transzformációja
- Szinuszfüggvény transzformációja
- Koszinusz-függvény transzformációja
- Koszinuszfüggvény transzformációja
- Tangens-függvény transzformációja
- Tangens-függvény transzformációja
- Kotangens-függvény transzformációja
- Kotangens-függvény transzformációja
A sin függvények származtatása
A koordináta-rendszer origója köré írt egység sugarú körön mozog egy pont.[br]Figyeld meg a pont második koordinátájának változását![br]A pontba vezető sugár elfordulását az [math]\alpha[/math]-val jelölt szög méri.
Alkalmazás
A bal oldalon látható az egység sugarú kör, melyen a zöld [math]x[/math]-szel jelölt pont mozgatható.
1. feladat
Mozgasd a zöld pontot! [math]\alpha=0[/math]-tól indulva [math]\alpha=\frac{\pi}{2}[/math]-ig figyeld meg: a szög növekedése közben a szögszinusza hogyan változik?[br]Melyik intervallum elemei a felvett értékek? Milyen a szinusz előjele?
2. feladat
[math]\alpha=\frac{\pi}{2}[/math]-től indulva [math]\alpha=\pi[/math]-ig, figyeld meg: a szög növekedése közben a szög szinusza hogyan változik?[br]Melyik intervallum elemei a felvett értékek?[br]Milyen a szinusz előjele?
3. feladat
[math]\alpha=\pi[/math]-től indulva [math]\alpha=\frac{3\pi}{2}[/math]-ig, figyeld meg: a szög növekedése közben a szög szinusza hogyan változik?[br]Melyik intervallum elemei a felvett értékek?[br]Milyen a szinusz előjele?
4. feladat
[math]\alpha=\frac{3\pi}{2}[/math]-től indulva [math]\alpha=2\pi[/math]-ig, figyeld meg: a szög növekedése közben a szög szinusza hogyan változik?[br]Melyik intervallum elemei a felvett értékek?[br]Milyen a szinusz előjele?
5. feladat
Kapcsold be a nyomvonallal nevű jelölőnégyzetet, és ismét mozgasd a zöld pontot [math]\alpha=0[/math]-tól indulva [math]\alpha=2\pi[/math]-ig. A jobboldalon figyeld meg a megjelenő pontokat![br]Próbáld ki a többi beállítási lehetőségeket is!
6. feladat:
Írd fel a mozgatott pont koordinátáit, ha[br]a) [math]\alpha=0 (\alpha=0°)[/math];[br]b) [math]\alpha=\frac{\pi}{2}(\alpha=90°)[/math];[br]c) [math]\alpha=\pi(\alpha=180°)[/math];[br]d) [math]\alpha=\frac{3\pi}{2}(\alpha=270°)[/math];[br]e) [math]\alpha=2\pi(\alpha=360°)[/math].
A tangensfüggvény származtatása
Bevezető feladat
Egység sugarú körön mozog egy pont. Nevezzük [math]\alpha[/math]-nak a ponthoz tartozó sugár és az [math]x[/math] tengely pozitív iránya által közrezárt szöget. A körhöz az (1; 0) pontjában[br]érintőt állítunk. Az érintőn megjelölt piros szakasz az [math]\alpha[/math] szög tangensét adja meg [br](a szakasz „előjeles hossza” egyenlő a szög tangensével).[br]Figyeld meg a piros szakasz változását, miközben [math]\alpha[/math] szög nagysága nő!
A bal oldalon látható az egység sugarú kör, melyen a zöld színű pont mozgatható.
1. feladat
Mozgasd a zöld pontot [math]\alpha=0[/math]-tól indulva [math]\alpha=\frac{\pi}{2}[/math]-ig! Figyeld meg, hogy a szög növekedése közben a szög tangense hogyan változik![br]A függvényértékek melyik intervallum elemei?[br]Milyen a tangens előjele?
2. feladat
Mi történik, ha [math]\alpha=\frac{\pi}{2}[/math]?
3. feladat
Most mozgasd a pontot [math]\alpha=\frac{\pi}{2}[/math]-től indulva [math]\alpha=\pi[/math]-ig. Figyeld meg, hogy a szög növekedése közben hogyan változik a szög tangense![br]A függvényértékek melyik intervallum elemei?[br]Milyen a tangens előjele?
4. feladat
Kapcsold be a "nyomvonallal" jelölőnégyzetet, és ismét mozgasd a zöld pontot [math]\alpha=0[/math]-tól indulva [math]\alpha=\pi[/math]-ig! A jobb oldalon figyeld meg a megjelenő pontokat![br]Próbáld ki a többi beállítási lehetőséget is!
Szinuszok forgóvektorral
Bevezetés
[justify]Különböző szinusz függvények (vagy koszinusz) egymáshoz viszonyított elhelyezkedésének bemutatása fázistolással.[/justify]
1. feladat
[justify]Állítsd be a következő értékeket: a fáziseltolás [i]α[/i] = 0; a vektorok végpontjai (1; 0) és[br](2; 0), majd jeleníts meg egy teljes periódust![br]Hol lesz az összegfüggvénynek szélsőértéke és mennyi? [br][/justify]
2. feladat
[justify]Az ábrán három vektor látható. Milyen összefüggés áll fent ezek koordinátái között?[/justify]
3. feladat
[size=100]Változtasd a körök sugarait![br][/size][list][*][size=100]Hogyan módosítja ez a szélsőérték helyét?[br][/size][/*][*][size=100]Értékét?[br][/size][/*][/list]
4. feladat
[justify]Használd az Újra gombot ([icon]/images/ggb/geomatech/ujra.png[/icon]), majd állítsd be a sugarakat azonos értékre, és különböző [i]α[/i] értékek esetén jeleníts meg egy periódust![br][br]Olvasd le a függvények szélsőértékeit és azok helyét. [br]Milyen összefüggést találsz ezek és a fáziseltolás között? [br]Sejtésed különböző [i]α[/i] értékekkel ellenőrizd![/justify]
5. feladat
Használd az Újra gombot ([icon]/images/ggb/geomatech/ujra.png[/icon]), majd állítsd be a sugarakat azonos értékre, és jeleníts meg egy periódust, majd változtasd a fázistolás értékét![br][br]Mely [i]α[/i] értéknél lesz az összegfüggvény maximum értéke a legnagyobb, illetve a legkisebb?
A koszinuszfüggvények származtatása
Bevezető feladat
A koordináta-rendszer origója köré írt, egységnyi sugarú körön adott az (1; 0) pont.[br]Ezt az origó körül forgatjuk. Figyeld meg a pont első koordinátájának változását![br]A pontba vezető sugár elfordulását az [math]a[/math]-val jelölt szög méri.
A bal oldalon látható az egységsugarú kör, melyen a zöld pont mozgatható.
1. feladat
Mozgasd a zöld pontot! [math]α=0[/math]-tól indulva [math]\alpha=\frac{\pi}{2}[/math]-ig figyeld meg: a szög növekedése közben a szög koszinusza hogyan változik (növekszik vagy csökken)?[br] Melyik intervallum elemei a felvett értékek? Milyen a koszinusz előjele?
2. feladat
Figyeld meg [math]α=\pi[/math]-tól indulva [math]α=\frac{3\pi}{2}[/math] -ig: a szög növekedése közben a szög koszinusza hogyan változik (növekszik vagy csökken)? [br]Melyik intervallum elemei a felvett értékek? Milyen a koszinusz előjele?
3. feladat
Figyeld meg [math]α=\frac{3\pi}{2}[/math]-tól indulva [math]α=2\pi[/math]: a szög növekedése közben a szög koszinusza hogyan változik (növekszik vagy csökken)?[br]Melyik intervallum elemei a felvett értékek? Milyen a koszinusz előjele?
4. feladat
Kapcsold be a nyomvonallal nevű jelölőnégyzetet, és ismét mozgasd a zöld pontot [math]α=0[/math]-tól indulva [math]α=2\pi[/math]-ig. Figyeld meg a rajzlap jobb oldalán megjelenő pontokat![br]Próbáld ki a többi beállítási lehetőséget is!
5. feladat
Írd fel a mozgatott pont koordinátáit, ha[br]a) [math]\alpha=0[/math] [math](\alpha=0°)[/math];[br]b) [math]\alpha=\frac{\pi}{2}[/math] [math](\alpha=90°)[/math];[br]c) [math]\alpha=\pi[/math] [math](\alpha=180°)[/math];[br]d) [math]\alpha=\frac{3\pi}{2}[/math] [math](\alpha=270°)[/math];[br]e) [math]\alpha=2\pi[/math] [math](\alpha=360°)[/math]!
A kotangensfüggvény származtatása
Egységsugarú körön mozog egy pont. Nevezzük [math]α[/math]-nak a ponthoz tartozó sugár és az [i]x[/i] tengely pozitív iránya által közrezárt szöget. A körhöz az (0; 1) pontjában érintőt állítunk. Az érintő és a szögszár egyenesének metszéspontja, illetve a (0; 1) pont közötti piros szakasz hossza az [math]α[/math] szög kotangensével megegyezik. Figyeld meg a piros szakasz változását, miközben az [math]α[/math] szög nő!
1. feladat
[size=100]A bal oldalon látható az egységsugarú kör, melyen a zöld színű pont mozgatható. [br][/size][size=100]Mozgasd a zöld pontot! [math]α=0[/math]-tól indulva [math]α=\frac{\pi}{2}[/math]-ig figyeld meg: a szög növekedése közben a szög kotangense hogyan változik? A függvényértékek melyik intervallum elemei? Milyen a kotangens előjele?[/size]
2. feladat
[math]α=\frac{\pi}{2}[/math]-tól indulva [math]α=\pi[/math]-ig, figyeld meg: a szög növekedése közben hogyan változik a szög kotangense? Milyen a kotangens előjele?[br]
3. feladat
Mi történik, ha [math]α=\pi[/math]?
4. feladat
[size=100]Kapcsold be a nyomvonallal jelölőnégyzetet, és ismét mozgasd a zöld pontot [math]α=0[/math]-tól indulva [math]α=\pi[/math] -ig! A jobb oldalon figyeld meg a megjelenő pontokat![br]Próbáld ki a többi beállítási lehetőséget is![/size]
Szinuszfüggvény transzformációja
Bevezető feladatok
a) Hogy változik az [math]f(x)=a\cdot\sin(b\cdot x-u)+v[/math] [math](x\in R)[/math] függvény görbéje, ha megváltoztatod a paramétereit ([math]a[/math],[math]b[/math], [math]u[/math][i], [math]v[/math][/i])?[br]Kísérletezz!
b) Ábrázold az [math]R\longrightarrow R;\:f(x)=3\sin(2x)[/math] függvényt![br]Az [math]R\longrightarrow R;\:f(x)=3\sin(2x)[/math] függvény grafikonját jelenítsd meg a csúszkák vagy a beviteli mezők segítségével!
c) Egy harmonikus rezgőmozgást végző test kitérését (alkalmas mértékegységekben) az [math]y:R^+\longrightarrow R;\;y(t)=3\sin(2t)[/math] függvény írja le, ahol [math]t[/math][i] [/i]a mérés kezdetétől eltelt időt jelöli (pl. másodpercben mérve). Ábrázold a kitérés változását az idő függvényében! (Mennyi ideig tart egy teljes rezgés?)
1. feladat
Ábrázold az alábbi függvényeket, ha [math]x\in R[/math][br][left][/left][center][math]f(x)=\sin{x}-3[/math][br][math]f(x)= \sin(x-3)[/math][br][math]f(x)= 2\sin(x-3)[/math][br][math]f(x)= 2\sin x[/math][br][math]f(x)= \sin(2x)[/math][br][math]f(x)= 2\sin(2x)[/math][br][math]f(x)= \sin(x+\frac{\pi}{2})[/math][br][math]f(x)= \sin(-x)[/math][br][math]f(x)= \frac{1}{2}\sin x+1[/math][/center][br]Elemezd a függvényeket!
2. feladat
Told el a szinuszfüggvény grafikonját[br]a) az abszcisszatengely mentén 1, 2, 3, –1, –2, –3 egységgel;[br]b) az abszcisszatengely mentén [math]\frac{\pi}{2}[/math], [math]\pi[/math], [math]\frac{3\pi}{2}[/math], [math]2\pi[/math], [math]\frac{5\pi}{2}[/math] egységgel (a beviteli mezőbe a pi szócska beírásával adhatod meg a [math]\pi[/math]-t);[br]c) az ordinátatengely mentés 1, 2, 3, –1, –2, –3 egységgel;[br]d) az (1; 1) vektorral, a (3; 1) vektorral, a (–2; 3) vektorral.[br]Írd fel az egyes grafikonokhoz tartozó függvények értelmezési tartományát, értékkészletét, hozzárendelési szabályát.
Kapcsolódó érdekességek:
[b]Fizika:[/b] periodikus mozgás, harmonikus rezgőmozgás, hullámmozgás, váltakozó feszültség és áram. [br][b]Földrajz:[/b] térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS.[br] [br]Matematika történet:[br]Árjabhata 499-ben saját magáról elnevezett fő művében, az Árjabhatíjában napközpontú gravitációs rendszeren alapuló pontos csillagászati számításokat végzett, bevezette a sinus versus függvényt és elkészítette az első szinusztáblázatokat.[br]A Szúrjasziddhánta című mű (i. sz. 400 körül) bevezette a trigonometrikus függvények közül a szinuszt, a koszinuszt és az inverz szinuszt és lefektette az égitestek valódi[br]mozgásának szabályait, amely megfelel az égbolton való aktuális helyzetüknek.[br]A tengeri hajózás és navigáció valamint a nagy területeket ábrázoló pontos térképekkel szemben támasztott növekvő igények miatt a trigonometria lett a matematika egyik legfejlettebb ága.[br]Bartholomaeus Pitiscus használta először a szót az 1595-ben megjelent Trigonometria című munkájában.[br]A Regiomontanus-féle szinusz- és koszinusztáblázatokat 1533-ban adták ki.
Koszinuszfüggvény transzformációja
Bevezető feladat:
Hogy változik a [math]f(x)=a\cdot\cos(b\cdot x-u)+v[/math] [math](x\in R)[/math] függvény görbéje, ha megváltoztatod a paramétereit ([math]a[/math],[math]b[/math], [math]u[/math][i], [math]v[/math][/i])? Kísérletezz!
Ábrázold az [math]R\longrightarrow R;\:f(x)=5\cos(\frac{x}{4})[/math] függvényt![br]A [math]R\longrightarrow R;\:f(x)=5\cos(\frac{x}{4})[/math] függvény grafikonját jelenítsd meg a csúszkák vagy a beviteli mezők segítségével!
Egy 0,3 kg tömegű test harmonikus rezgőmozgást végez. Sebességét a [math]v=v_0\cdot\cos(\frac{2\pi}{T}\cdot t)[/math] összefüggés írja le, ahol [math]v_0=5\text{\frac{cm}{s}}[/math], [math]T=8\;s[/math].[br]Ábrázold a sebesség változását az idő függvényében!
1. feladat
Ábrázold az alább megadott függvényeket [math](x\in R)[/math].[center][math]\:f(x)= \cos x-3[/math][br][math]\:f(x)= \cos(x-3)[/math][br][math]\:f(x)= 2\cos(x-3)[/math][br][math]\:f(x)= 2\cos x[/math][br][math]\:f(x)= \cos(2x)[/math][br][math]\:f(x)=2 \cos(2x)[/math][/center]
2. feladat
Told el a koszinuszfüggvény grafikonját[br]a) az abszcisszatengely mentén 1, 2, 3, –1, –2, –3 egységgel;[br]b) az abszcisszatengely mentén [math]\frac{\pi}{2}[/math], [math]\pi[/math], [math]\frac{3\pi}{2}[/math], [math]2\pi[/math], [math]\frac{5\pi}{2}[/math] egységgel (a beviteli mezőbe a pi szócska beírásával adhatod meg a [math]\pi[/math]-t);[br]c) az ordinátatengely mentén 1, 2, 3, –1, –2, –3 egységgel;[br]d) az (1; 1) vektorral, a (3; 1) vektorral, a (–2; 3) vektorral.[br]Írd fel a grafikonhoz tartozó függvények értelmezési tartományát, értékkészletét, hozzárendelési szabályát.
3. feladat
A csúszkák segítségével tükrözd a koszinuszgörbét először az [math]x[/math] tengelyre, majd az [math]y[/math] tengelyre! Mely függvények grafikonját kaptad meg?
Tangens-függvény transzformációja
Bevezető feladat
Hogy változik a [math]f(x)=a\cdot tg(b\cdot x-u)+v)[/math] függvény görbéje, ha megváltoztatod a paramétereit ([math]a[/math], [math]b[/math], [math]u[/math][i], [math]v[/math][/i])?[br]Kísérletezz!
Ábrázold az [math]R[/math] lehető legbővebb részhalmazán a következő hozzárendelési szabállyal megadott függvényt! [math]f(x)= 2\cdot tg(x+\frac{\pi}{4})+2[/math]
Alkalmazás
1. feladat
Ábrázold a következő hozzárendelési szabályokkal megadott függvényeket![center][math]f(x)= tgx+2[/math][br][math]f(x)= tg(x+2)[/math][br][math]f(x)= tgx-\frac{\pi}{4}[/math][br][math]f(x)= tg(x-\frac{\pi}{4})[/math][br][math]f(x)= 2tgx[/math][br][math]f(x)= tg(2x)[/math][/center]
2. feladat
A csúszkák segítségével tükrözd a tangensgörbét a koordinátatengelyekre![br]Mely függvények grafikonját kaptad?
Kotangens-függvény transzformációja
Bevezető feladat
Hogy változik a [math]f(x)=a\cdot ctg(b\cdot x-u)+v[/math] függvény görbéje, ha megváltoztatod a paramétereit ([math]a[/math], [math]b[/math], [math]u[/math][i], [math]v[/math][/i])?[br]Kísérletezz!
Ábrázold az [math]R[/math] lehető legbővebb részhalmazán a következő hozzárendelési szabállyal megadott függvényt [math]f(x)=2 \cdot ctg(x-\frac{\pi}{4})+2[/math]!
Alkalmazás
1. feladat
Ábrázold a következő hozzárendelési szabályokkal megadott függvényeket.[center][math]f(x)= ctgx+2[/math][br][math]f(x)=ctg(x+2)[/math][br][math]f(x)= ctgx-\frac{\pi}{4}[/math][br][math]f(x)= ctg(x-\frac{\pi}{4})[/math][br][math]f(x)= 2ctgx[/math][br][math]f(x)= ctg(2x)[/math][/center]
Kapcsolódó érdekességek:
Matematika történet:[br]A Rhind-papirusz (i. e. 1650) egy fontos óegyiptomi matematikai szöveg, egy útmutató kézikönyv az aritmetikához és a geometriához, amelyen megtaláljuk a kotangens legkorábbi használatát bizonyító leírásokat.