[size=85]In einem quadratischen Vektorfeld mit reeller absoluten Invariante der Nullstellen sind konfokale bizirkulare Quartiken Lösungskurven.[br]In diesem Abschitt sollen Eigenschaften der einzelnen bizirkularen Quartiken ermittelt werden. [br]Jede bizirkulare Quartik besitzt mindestens einen Symmetriekreis. [br]Die Quartik ist damit der Schnitt eines Kegels mit der Möbiuskugel. [br]Der Kegel schneidet die Ebene des Symmetriekreises in einem Kegelschnitt, d.h. die bizirkulare Quartik entsteht aus [br]einem Kegelschnitt durch Projektion der Symmetriekreis-Ebene auf die Kugel, vom Pol des Symmetriekreises aus. [br]Der Kegelschnitt in der Symmetrieebene besitzt 4, möglicherweise zusammenfallende und möglicherweise [br]komplexe gemeinsame Tangenten mit dem Symmetriekreis.[br]Die Tangenten des Kegelschnitts sind die Projektion von Kreisen, welche [i][b]1.[/b][/i] orthogonal zum Symmetriekreis sind, [br]und die [i][b]2.[/b][/i] die Quartik doppelt-berühren. Die Kegelschnitt-Tangenten sind in der Symmetrieebene daher ebenfalls [br]Winkelhalbierende von speziellen Geraden durch die Kegelschnittpunkte, die wir hier kurz [i]Brennstrahlen [/i]nennen; [br]erklären werden wir diesen Bezeichnung anhand der konkreten Beispiele.[br]Zeichnet man einen der Brennpunkte [b][color=#38761D]F[/color][/b] aus, so berührt der Kegelschnitt die gemeinsame Tangente in einem [br]eindeutig bestimmten zweiten Punkt [color=#38761D][b]F[sup]*[/sup][/b][/color]. [br]Die Verbindungsgeraden von [color=#38761D][b]F[sup]*[/sup][/b][/color] mit den gegenüberliegenden Schnittpunkten der Brennpunktstangenten gehören zu Kreisen,[br]welche den Symmetriekreis orthogonal schneiden. Dies sind die [b][color=#0000ff]Leitkreise[/color][/b] der bizirkularen Quartik. [br]Zu jeder Kreissymmetrie gehört zu dem ausgewählten Brennpunkt [color=#38761D][b]F[/b][/color] ein [color=#0000ff][b]Leitkreis[/b][/color].[br]Mit Hilfe dieser Leitkreise kann man die bizirkulare Quartik [i][b]"konstruieren"[/b][/i]:[br]Das ergibt sich aus der wesentlichen Eigenschaft der [b][color=#0000ff]Leitkreise[/color][/b]:[br][list][*]Spiegelt man den ausgewählten Brennpunkt an den doppelt-berührenden Berührkreisen, welche durch die Kreissymmetrie gegeben sind, so liegen die Spiegelbilder auf dem Leitkreis. [/*][*]Zu jedem Punkt [b]P[/b] auf dem Leitkreis kann man den doppelt-berührenden Kreis [b]K[/b] und [br]den/die zugehörenden Quartik-Punkt(e) so konstruieren, dass [color=#38761D][b]F[/b][/color] gespiegelt an [b]K[/b] gerade der Leitkreispunkt [b]P[/b] ist.[/*][/list]Die Leitkreise, welche zu einem Brennpunkt [b][color=#38761D]F[/color][/b] gehören, liegen in einem Kreisbüschel. [b][color=#38761D][br]F[/color][/b] ist ein Grundpunkt dieses Büschels, den zweiten Grundpunkt bezeichnen wir mit [b][color=#38761D]F[sup]#[/sup][/color][/b]. [br]Fällt [b][color=#38761D]F[sup]#[/sup][/color][/b] mit einem der Schnittpunke der Symmetriekreise zusammen[/size][size=85], so ist die bizirkulare Quartik eine [i][b]CASSINI[/b][/i]-Quartik. [br]Die Determinante der zugehörigen [i][b]Hermiteschen [/b][/i]Form ist in genau diesen Fällen 0.[br]Schließlich gehen wir noch auf die bizirkularen Quartiken für den [i][b]Tetraeder-Fall[/b][/i] ein. [/size]