Nous avons étudié le cas où nous avons un triangle [math]ABC[/math] et dans lequel les points [math]D[/math]et [math]E[/math] appartiennent respectivement aux demi-droites [math][AB)[/math] et [math][AC)[/math] tels que [math](DE)\parallel(BC)[/math].[br][br]Nous allons étudier le cas plus général dans lequel les points [math]D[/math]et [math]E[/math], n'appartiennent plus forcément aux demi-droites [math][AB)[/math] et [math][AC)[/math], mais aux droites [math][AB)[/math] et [math][AC)[/math] tels que nous ayons toujours [math](DE)\parallel(BC)[/math].[br][br]Pour cela nous allons supposer que [math]D\in(AB)[/math] et [math]D\notin[AB)[/math].[br]Posons [math]E\in(AB)[/math] et [math](DE)\parallel(BC)[/math].

Nous allons nous ramener à la situation précédente en considérant [math]D'[/math] et [math]E'[/math], les images respectives des points [math]E[/math] et [math]D[/math] par la symétrie de centre [math]A[/math].

Par définition de la symétrie nous avons :[br][math]D'\in[AB)[/math] et [math]AD'=AD[/math][br][math]E'\in[AC)[/math] et [math]AE'=AE[/math][br][br]Or l'image d'une droite par symétrie centrale est une droite parallèle, nous avons donc :[br][math](ED)\parallel((E'D')\parallel(BC)[/math][br][br]Nous avons démontré précédemment que, dans ce cas, nous avons[br][math]\frac{AD'}{AB}=\frac{AE'}{AC}=\frac{D'E'}{BC}[/math][br][br]Et donc :[br][br][math]\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}[/math]

Par définition de la symétrie nous avons :[br][math]D'\in[AB)[/math] et [math]AD'=AD[/math][br][math]E'\in[AC)[/math] et [math]AE'=AE[/math][br][br]Or l'image d'une droite par symétrie centrale est une droite parallèle, nous avons donc :[br][math](ED)\parallel((E'D')\parallel(BC)[/math][br][br]Nous avons démontré précédemment que, dans ce cas, nous avons[br][math]\frac{AD'}{AB}=\frac{AE'}{AC}=\frac{D'E'}{BC}[/math][br][br]Et donc :[br][br][math]\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}[/math]