Dopo aver studiato le funzioni goniometriche, possiamo pensare si applicare delle rotazioni al piano, che ci permettono di ottenere le equazioni di funzioni (o di figure, come le coniche) ruotate nello spazio. [br][br]Come nel caso delle traslazioni, si tratta innanzitutto di capire la relazione tra le coordinate di un punto qualsiasi visto nel sistema originale ed in quello ruotato. Affrontiamo il problema nell'animazione qui sotto.

Abbiamo ottenuto quindi le leggi che ci permettono, date le coordinate [math]\large{\textcolor{red}{x'}}[/math] e [math]\large{\textcolor{red}{y'}}[/math] nel sistema ruotato [math]\large{Ox'y'}[/math], di ottenere le coordinate [math]\large{x}[/math] e [math]\large{y}[/math] del sistema originario. Ovviamente per poter passare dalle une alle altre è necessario conoscere anche l'angolo di rotazione [math]\large{\textcolor{#007700}{\alpha}}[/math].[br] [br][math]\Large{\begin{cases}x = \textcolor{red}{x'}\cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha} - \textcolor{red}{y'}\cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha}\\ y = \textcolor{red}{x'}\cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha} + \textcolor{red}{y'}\cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha} \end{cases}\qquad \qquad (2.1)}[/math][br][br]Come sappiamo per effettuare una trasformazione di funzioni e di punti ci servono sia le trasformazioni dirette che quelle inverse (dal sistema originale a quello trasformato e viceversa). Vediamo ora due modi per trovare le trasformazioni inverse di una rotazione.[br] [br][size=150][color=#ff0000]LE FORMULE INVERSE (METODO ALGEBRICO)[/color][/size][br]Possiamo invertire le formule ricavando ad esempio [math]\large{\textcolor{red}{x'}}[/math]: utilizziamo il metodo di [b]riduzione[/b] e moltiplichiamo la prima equazione per [math]\large{\textcolor{blue}{\cos \alpha}}[/math] e la seconda per [math]\large{\textcolor{blue}{\sin \alpha}}[/math][br][br][math]\Large{\begin{cases} \textcolor{blue}{\cos \alpha} \cdot x = ( \textcolor{red}{x'}\cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha} - \textcolor{red}{y'}\cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha}) \cdot \textcolor{blue}{\cos \alpha}\\ \textcolor{blue}{\sin \alpha} \cdot y = (\textcolor{red}{x'}\cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha} + \textcolor{red}{y'}\cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha}) \cdot \textcolor{blue}{\sin \alpha} \end{cases}}[/math][br][br][math]\Large{\begin{cases}x \cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha} = \textcolor{red}{x'}\cdot \textcolor{#007700}{\cos ^2 \alpha} - \textcolor{red}{y'}\cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha \cos \alpha}\\ y \cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha}= \textcolor{red}{x'}\cdot \textcolor{#007700}{\sin ^2 \alpha} + \textcolor{red}{y'}\cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha \sin \alpha} \end{cases}}[/math][br][br]Sommando membro a membro le due equazioni facciamo scomparire i termini in [math]\large{\textcolor{red}{y'}}[/math] ed otteniamo l'espressione per calcolare [math]\large{\textcolor{red}{x'}}[/math]: [br][br][math]\Large{x \cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha} + y \cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha} = \textcolor{red}{x'} ( \textcolor{#007700}{\cos ^2 \alpha} + \textcolor{#007700}{\sin ^2 \alpha}) = \textcolor{red}{x'}\qquad \qquad (2.2)}[/math][br][br]Con un procedimento analogo (moltiplicando la prima equazione per [math]\large{\textcolor{blue}{- \sin \alpha}}[/math] e la seconda per [math]\large{\textcolor{blue}{\cos \alpha}}[/math]) possiamo eliminare i termini in [math]\large{\textcolor{red}{x'}}[/math] ed ottenere l'espressione per calcolare [math]\large{\textcolor{red}{y'}}[/math][br][br][math]\Large{\begin{cases} \textcolor{blue}{- \sin \alpha} \cdot x = ( \textcolor{red}{x'}\cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha} - \textcolor{red}{y'}\cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha}) \cdot \textcolor{blue}{- \sin \alpha}\\ \textcolor{blue}{\cos \alpha} \cdot y = (\textcolor{red}{x'}\cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha} + \textcolor{red}{y'}\cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha}) \cdot \textcolor{blue}{\cos \alpha} \end{cases}}[/math][br][br]da cui, sommando membro a membro, si ottiene [br][br][math]\Large{\textcolor{red}{y'} = - x \cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha} + y \cdot \textcolor{#007700}{\cos\alpha}}[/math][br][br]che, unita all'equazione (2.2), fornisce le trasformazioni inverse della (2.1)[br][br][math]\Large{\begin{cases}\textcolor{red}{x'} = x\cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha} +y \cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha}\\ \textcolor{red}{y'} = -x\cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha} + y\cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha} \end{cases}\qquad \qquad (2.3)}[/math]

[color=#ff0000][size=150]UN METODO ALTERNATIVO PER TROVARE LE TRASFORMAZIONI INVERSE[br][/size][/color]Consideriamo di nuovo le trasformazioni dirette [br][br][math]\Large{\begin{cases}x = \textcolor{red}{x'}\cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha} - \textcolor{red}{y'}\cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha}\\ y = \textcolor{red}{x'}\cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha} + \textcolor{red}{y'}\cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha} \end{cases}\qquad \qquad (2.1)}[/math][br][br]Le abbiamo trovate partendo da questi presupposti: [br][list=1][*]ho [b]un sistema nero, di partenza[/b], ed [color=#ff0000][b]un sistema rosso, risultato di una rotazione [/b][/color]di un angolo [math]\large{\textcolor{#007700}{\alpha}}[/math][/*][*]le trasformazioni dirette [b]mi permettono di calcolare le coordinate nere[/b] [color=#ff0000][b]partendo da quelle rosse[/b][/color][/*][*]combinando quanto detto ai due primi punti, possiamo concludere che le trasformazioni dirette [b]mi permettono di calcolare le coordinate [/b][b] "diritte" [/b][b][color=#ff0000]utilizzando quelle ruotate di un angolo [/color][/b][math]\large{\textcolor{#007700}{\alpha}}[/math].[/*][/list][br]Veniamo ora alle [color=#0000ff][b]trasformazioni inverse[/b][/color]; esse sono quelle che [b][color=#ff0000]mi devono permettere di calcolare le coordinate rosse[/color][/b] [b]partendo da quelle nere[/b].[br][br]Posso ottenerle sfruttando lo stesso approccio delle trasformazioni [math]\large{(2.1)}[/math] , mi basta [b]considerare il sistema nero come sistema ruotato[/b] [b][color=#ff0000]rispetto al sistema rosso[/color][/b], e non viceversa come fatto all'inizio. [br]

Secondo questa nuova visione le coordinate rosse diventano le coordinate originali (non ruotate) e quindi per quanto osservato al punto 1.3) possono essere calcolate tramite quelle nere (che diventano le ruotate) tramite le leggi [math]\large{(2.1)}[/math], in cui [br][list][*]le coordinate rosse e nere si scambiano (quelle che erano originali diventano ruotate e viceversa)[/*][*]l'angolo non è più [math]\textcolor{#007700}{\large{\alpha}}[/math] ma [math]\large{\textcolor{blue}{-\alpha}}[/math][/*][/list][br]Effettuando queste modifiche otteniamo [br][br][math]\Large{\begin{cases}\textcolor{red}{x'} = x\cdot \textcolor{#007700}{\cos \textcolor{blue}{(-\alpha)}} -y \cdot \textcolor{#007700}{\sin \textcolor{blue}{(-\alpha)}}\\ \textcolor{red}{y'} = x\cdot \textcolor{#007700}{\sin \textcolor{blue}{(-\alpha)}} + y\cdot \textcolor{#007700}{\cos \textcolor{blue}{(-\alpha)}} \end{cases}}[/math][br][br]Ricordiamo che [math]\large{\textcolor{#007700}{\cos \textcolor{blue}{(-\alpha)}} = \textcolor{#007700}{\cos \alpha}}[/math] e che [math]\large{\textcolor{#007700}{\sin \textcolor{blue}{(-\alpha)}} = \textcolor{blue}{-}\textcolor{#007700}{\sin \alpha}}[/math], e sostituendo troviamo proprio le trasformazioni [math]\large{(2.3)}[/math]:[br][br][math]\Large{\begin{cases}\textcolor{red}{x'} = x\cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha} +y \cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha}\\ \textcolor{red}{y'} = -x\cdot \textcolor{#007700}{\sin \alpha} + y\cdot \textcolor{#007700}{\cos \alpha} \end{cases}\qquad \qquad (2.3)}[/math][br][br][size=150][color=#ff0000]UN ESEMPIO DI APPLICAZIONE[/color][br][/size]Vediamo nell'animazione di seguito come utilizzare le equazioni che abbiamo ottenuto ottenere l'ellisse ruotata in figura. In questa animazione creeremo un sistema ruotato "comodo", in cui l'ellisse risulta riferita agli assi, ricaveremo le trasformazioni tra i due sistemi e le invertiremo per sostituirle nell'equazione canonica valida con le coordinate "ruotate".

L'animazione qui sotto ti permette di vedere un altro esempio di applicazione delle trasformazioi di rotazione.[br][br][b][color=#ff0000]NOTA:[/color][/b] da sostituire con versione che permetta l'inserimento di qualsiasi funzione usando a(x,y) o(x,y) rispettivamente per le x e le y.