In diesem Applet wird die Differentialgleichung für das mathematische Pendel in der Kleinwinkelnäherung gelöst. Die Differentialgleichung y''=-y wird dabei in ein äquivalentes System (Substituiere u:=y, v:=y') von zwei Differentialgleichungen v'=-sin(u), u'=v umgewandelt und mit den bereits bekannten zwei Verfahren gelöst. - das Euler-Verfahren (=RK1) - das Verfahren von Runge (=RK2) Mit den vier Buttons kannst du die Schrittweite der beiden Verfahren gesondert steuern und beobachten, wie gut diese die Lösung approximieren. Der dargestellte blaue "Schlauch" ist ein Bereich, in dem alle Punkte in ihrer y-Koordinate kleiner als b/2 von der Lösung unterschiedlich sind. Ist ein Polygonzug in diesem Schlauch, so ist die numerische Näherung also maximal um b/2 von der tatsächlichen Lösung verschieden.
Wir nutzen den blauen Schlauch um wieder die Konvergenzordnung der Verfahren zu untersuchen. - Stelle den Wert b auf 1 - Erhöhe die Schrittweite beider Verfahren so lange, bis gerade beide Polygonzüge innerhalb des Schlauchs liegen - Notiere dir die Schrittanzahl die du gerade eingestellt hast in einer Tabelle - Führe diese Schritte für b=0.5, b=0.25 und b=0.125 durch. Achtung: die Schrittanzahl wird dabei ziemlich groß werden - erstelle einen doppeltlogarithmischen Plot der Tabelle (am Computer oder mit einem doppellogarithmischen Papier). Dabei wird in der y-Achse der Wert b, und in der x-Achse die Schrittanzahlen der beiden Verfahren. - Verbinde nun die so entstandenen Paare von Punkten mit einer Geraden (es wird keine exakte Gerade herauskommen, mache also eine Regression mit dem freien Auge) - Versuche die Steigung der Geraden zu ermitteln - Besprich die Lösung mit deinem Lehrer