Bunryu Kamimura, Jan 24, 2016

三角形を探る上で、とても大事な円。 内接円、外接円、傍接円、そして、９点円。 簡単なのに奥が深い。

三角形には９点円がある。 ９点円とは何か？

• 1. 三角形の各辺の中点を通る円
• 2. 二つの円の関係は？
• 3. 九点円 Euler's circle
• 4. ９点円の証明

９点円には不思議な性質がある。

• 1. ９点円の性質
• 2. OとHは等角共役点
• 3. ９点円と傍接円は接する
• 4. 九点円と内接円
• 5. ９点円と内接円と外接円
• 6. 難問５のヒント

垂足三角形と中点三角形

• 1. 垂心と垂足三角形
• 2. 外接円が九点円に
• 3. ９点円と外心
• 4. 九点円と傍接円の接点
• 5. チェバ円共役点

９点円を拡張してみよう。 垂足三角形と垂足円は、等角共役点と繋がってくる。

• 1. ９点円の拡張(垂足円）
• 2. ９点円の拡張の証明
• 3. 垂足円とシムソン線

九点円は外心を通る直線の直極点の軌跡である。 さらに、デルトイドはシムソン線の包絡線。 自由な点の直極点の軌跡が楕円になり、その楕円はデルトイドに接している。 そうすると、デルトイドのことが知りたくなる。 アメリカのサイトを見ていたら、外接円の接線の作る直極点の軌跡が、デルトイドになることを知った。 今度は、円の接線の直極点を調べた。 すると、外心を中心とする円の接線の直極点は三つ葉になることがわかった。 それを式で表そうと試行錯誤した。 三角形と円の接線の作る直極点の軌跡が指し示していることは何だろうか。 三角形のデルトイドが三つ葉に変形し、さらに９点円に変化するという素敵なメタモルフォーゼがあらわれてくる。

• 1. 直極点
• 2. 垂線が一点に会する条件
• 3. 九点円とＯＩの直極点
• 4. 外心を通る直線の直極点は９点円
• 5. 垂心を通る直線の直極点の軌跡
• 6. 内心を通る直線の直極点の軌跡
• 7. 対垂三角形
• 8. 直極点→直線
• 9. 四角形の直極点
• 10. シムソン線
• 11. シムソン線の包絡線
• 12. シムソン線のデルトイド
• 13. シムソン線の直極点
• 14. シムソン線のデルトイドと垂心の直極点
• 15. 内心の楕円とデルトイド
• 16. 重心を通る直線の直極点の軌跡は楕円
• 17. 三角形のデルトイドの作図のし方
• 18. 平行なシムソン線の作図
• 19. 直極点の軌跡
• 20. 外接円の接線の直極点の軌跡
• 21. デルトイド
• 22. デルトイドのメタモルフォーゼ
• 23. 円の接線の直極点の軌跡
• 24. 円Ｐの接線の直極点の軌跡
• 25. 傍心の直極点の軌跡