９点円（三角形の不思議な円）

Bunryu Kamimura, Jan 24, 2016

三角形を探る上で、とても大事な円。 内接円、外接円、傍接円、そして、９点円。 簡単なのに奥が深い。

Table of Contents

  1. ９点円とは
    1. 三角形の各辺の中点を通る円
    2. 二つの円の関係は？
    3. 九点円 Euler's circle
    4. ９点円の証明
  2. ９点円の性質
    1. ９点円の性質
    2. OとHは等角共役点
    3. ９点円と傍接円は接する
    4. 九点円と内接円
    5. ９点円と内接円と外接円
    6. 難問５のヒント
  3. ９点円と傍心三角形と逆中点三角形
    1. 垂心と垂足三角形
    2. 外接円が九点円に
    3. ９点円と外心
    4. 九点円と傍接円の接点
    5. チェバ円共役点
  4. ９点円の拡張
    1. ９点円の拡張(垂足円）
    2. ９点円の拡張の証明
    3. 垂足円とシムソン線
  5. 九点円と直極点
    1. 直極点
    2. 垂線が一点に会する条件
    3. 九点円とＯＩの直極点
    4. 外心を通る直線の直極点は９点円
    5. 垂心を通る直線の直極点の軌跡
    6. 内心を通る直線の直極点の軌跡
    7. 対垂三角形
    8. 直極点→直線
    9. 四角形の直極点
    10. シムソン線
    11. シムソン線の包絡線
    12. シムソン線のデルトイド
    13. シムソン線の直極点
    14. シムソン線のデルトイドと垂心の直極点
    15. 内心の楕円とデルトイド
    16. 重心を通る直線の直極点の軌跡は楕円
    17. 三角形のデルトイドの作図のし方
    18. 平行なシムソン線の作図
    19. 直極点の軌跡
    20. 外接円の接線の直極点の軌跡
    21. デルトイド
    22. デルトイドのメタモルフォーゼ
    23. 円の接線の直極点の軌跡
    24. 円Ｐの接線の直極点の軌跡
    25. 傍心の直極点の軌跡

1.

９点円とは

三角形には９点円がある。 ９点円とは何か？

  • 1. 三角形の各辺の中点を通る円
  • 2. 二つの円の関係は？
  • 3. 九点円 Euler's circle
  • 4. ９点円の証明

1.1.

三角形の各辺の中点を通る円

三角形の各辺の中点を求め、その三点を通る円を描こう。[br]さらに、各辺から垂線を引いてみよう。[br]この円を９点円という。[br]この不思議な円の世界に浸ってみよう。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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2.

９点円の性質

９点円には不思議な性質がある。

  • 1. ９点円の性質
  • 2. OとHは等角共役点
  • 3. ９点円と傍接円は接する
  • 4. 九点円と内接円
  • 5. ９点円と内接円と外接円
  • 6. 難問５のヒント

2.1.

９点円の性質

外心と垂心を結んだ線（オイラー線）の真ん中に９点円の中心があります。 これまで確かめたように、外心と垂心は密接につながっています。 そして、重心もこの線の上にあります。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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3.

９点円と傍心三角形と逆中点三角形

垂足三角形と中点三角形

  • 1. 垂心と垂足三角形
  • 2. 外接円が九点円に
  • 3. ９点円と外心
  • 4. 九点円と傍接円の接点
  • 5. チェバ円共役点

3.1.

垂心と垂足三角形

Hは垂心。[br]△ABCの垂心は垂足三角形DEFの内心である。[br]△DEFの外接円は△ABCの九点円である。[br]これらのことは、三角形とその傍心三角形との間にも同様に成り立つ。[br]この図に補助円を書き加えながら、まずは内心になることを証明してみよう。
垂心と垂足三角形
９点円は垂足三角形の外接円である。
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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4.

９点円の拡張

９点円を拡張してみよう。 垂足三角形と垂足円は、等角共役点と繋がってくる。

  • 1. ９点円の拡張(垂足円）
  • 2. ９点円の拡張の証明
  • 3. 垂足円とシムソン線

4.1.

９点円の拡張(垂足円）

一点Dから各辺に垂線を下ろして、その垂足で円を作成すると辺と交わる点が出来る。[br]その３点から、垂線を上げると、一点で交わり、その点はDの等角共役点となる。[br]この円（垂足円）は、９点円の拡張になっている。[br]また、これを使って簡単に等角共役点が作図できる。[br]それぞれの垂線の足で三角形を作図すると、垂足三角形と中点三角形が同じモノだとわかる。
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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5.

九点円と直極点

九点円は外心を通る直線の直極点の軌跡である。 さらに、デルトイドはシムソン線の包絡線。 自由な点の直極点の軌跡が楕円になり、その楕円はデルトイドに接している。 そうすると、デルトイドのことが知りたくなる。 アメリカのサイトを見ていたら、外接円の接線の作る直極点の軌跡が、デルトイドになることを知った。 今度は、円の接線の直極点を調べた。 すると、外心を中心とする円の接線の直極点は三つ葉になることがわかった。 それを式で表そうと試行錯誤した。 三角形と円の接線の作る直極点の軌跡が指し示していることは何だろうか。 三角形のデルトイドが三つ葉に変形し、さらに９点円に変化するという素敵なメタモルフォーゼがあらわれてくる。

  • 1. 直極点
  • 2. 垂線が一点に会する条件
  • 3. 九点円とＯＩの直極点
  • 4. 外心を通る直線の直極点は９点円
  • 5. 垂心を通る直線の直極点の軌跡
  • 6. 内心を通る直線の直極点の軌跡
  • 7. 対垂三角形
  • 8. 直極点→直線
  • 9. 四角形の直極点
  • 10. シムソン線
  • 11. シムソン線の包絡線
  • 12. シムソン線のデルトイド
  • 13. シムソン線の直極点
  • 14. シムソン線のデルトイドと垂心の直極点
  • 15. 内心の楕円とデルトイド
  • 16. 重心を通る直線の直極点の軌跡は楕円
  • 17. 三角形のデルトイドの作図のし方
  • 18. 平行なシムソン線の作図
  • 19. 直極点の軌跡
  • 20. 外接円の接線の直極点の軌跡
  • 21. デルトイド
  • 22. デルトイドのメタモルフォーゼ
  • 23. 円の接線の直極点の軌跡
  • 24. 円Ｐの接線の直極点の軌跡
  • 25. 傍心の直極点の軌跡

5.1.

直極点

△ＡＢＣの頂点からＤＥに垂線を下し、その足から対辺にまた垂線を下せば、その３直線はまた一点に会する。この点を直線ＤＥの直極点と言う。　　　Newberg 1875[br][br]点Ｉを右クリックして残像を選んで、Ｅを回転させてみよう。
DEを辺に重ねると、直極点は垂心になる。垂心を一般化したもの。Trianglecenter(A,B,C,3)＝外心を作図し、Ｄを外心に重ねてＥを回転させると、直極点は（　）を描く。
証明
この定理は、「シュタイナーの垂線が一点で交わる条件」を使えば証明できる。
証明（幾何学大辞典より）
– Bunryu Kamimura

5.2.

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5.25.

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