Trigonomeetrilised funktsioonid 11. klassile
Teemadeks siinusfunktsioon, koosinusfunktsioon ja tangensfunktsioon. Digitaalne õppematerjal on loodud toetamaks [b]11. klassi trigonomeetria kursust[/b] (IX kursus: trigonomeetrilised funktsioonid). Aluseks võetud matemaatika õpik - Lepmann, T., Lepmann, L., & Velsker, K. (2013). Matemaatika 11. klassile. Tallinn: Koolibri. Loodud õppematerjali (dünaamilisi slaide) [b]saab kasutada mitmeti[/b], vastavalt konkreetse õpetaja soovist. Õppematerjali (GeoGebra raamatu) saab anda õpilastele endile uudistamiseks või kordamiseks, õpetaja kasutab seda tunnis näitlikustamiseks või õpetaja kopeerib töölehe endale ja lisab selle klassi gruppi (GeoGebra gruppi) ja lisab juurde ülesandeid ning õpilased saavad ise avastada ja ülesandeid lahendada jne. Materjalid on loodud tarkvaraga GeoGebra ning koondatud kokku üheks raamatuks. Materjalide autor on Airika Veinjärv.
Table of Contents
- Siinusfunktsioon
- Siinusfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond
- Siinusfunktsioon on paaritu funktsioon
- Siinusfunktsiooni periood
- f(x)=k∙sin(a∙x)+b
- Arkussiinus f(x) = arcsin x
- Koosinusfunktsioon
- Koosinusfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond
- Koosinusfunktsioon on paarisfunktsioon
- Koosinusfunktsiooni periood
- f(x)=k∙cos(a∙x)+b
- Arkuskoosinus f(x) = arccos x
- Tangensfunktsioon
- Tangensfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond
- Tangensfunktsioon on paaritu funktsioon
- Tangensfunktsiooni periood
- f(x)=k∙tan(a∙x)+b
- Arkustangens f(x) = arctan x
Siinusfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond
Järgneva dünaamilise slaidi abil on võimalik demonstreerida kuidas tekib siinusfunktsioon. [br][br]Nagu varasemast teame, et igale nurgale vastab üks siinuse väärtus ning et ka igale reaalarvule x saab vastavusse seada siinuse väärtuse sin x. Sellest lähtuvalt saame, et võrdus f(x)=sin x seab reaalarvule x vastavusse reaalarvu, mis defineerib funktsiooni, mida nimetatakse siinusfunktsiooniks. Kuna funktsioon f(x)=sin x seab reaalarvulise muutuja x iga korral vastavusse ühe reaalarvu, siis saame, et siinusfunktsiooni [b]määramispiirkonnaks[/b] on kogu reaalarvude hulk R. [br][br][b]Punkti A[/b] lohistamisel tekibki meil siinusfunktsioon ning mida aeglasemalt punkti lohistada seda tihedam tuleb funktsioonigraafik.
Kui aeglaselt lohistada punkti A, tuleb ilus ja pidev siinusfunktsioonigraafik. Ehk näeme jooniselt, et iga reaalarvulise muutuja x korral leidub funktsioonil f(x)=sin x reaalarv y. [br][br]Nüüd vaatame ka siinusfunktsiooni graafiku [b]muutumispiirkonda[/b]. Lohistame veel punkti A ning vaatame punkti A koordinaatide ordinaati ning näeme, et ordinaat ei oma suuremat väärtust kui arv 1 või väiksemat väärtust arvust -1. Seega siinusfunktsiooni muutumispiirkonnaks on [ -1; 1 ].
Koosinusfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond
Järgneva dünaamilise slaidi abil on võimalik demonstreerida kuidas tekib koosinusfunktsioon. [br][br]Nagu varasemast teame, et igale nurgale vastab üks koosinuse väärtus ning et ka igale reaalarvule x saab vastavusse seada koosinuse väärtuse cos x. Sellest lähtuvalt saame, et võrdus f(x)=cos x seab reaalarvule x vastavusse reaalarvu, mis defineerib funktsiooni, mida nimetatakse koosinusfunktsiooniks. Kuna funktsioon f(x)=cos x, seab reaalarvulise muutuja x iga väärtuse korral vastavusse ühe reaalarvu, siis saame, et koosinusfunktsiooni [b]määramispiirkonnaks[/b] on kogu reaalarvude hulk R. [br][br][b]Punkti B[/b] lohistamisel tekibki meil koosinusfunktsioon ning mida aeglasemalt punkti lohistada seda tihedam tuleb funktsioonigraafik.
Kui aeglaselt lohistada punkti B, tuleb ilus ja pidev koosinusfunktsioonigraafik. Ehk näeme jooniselt, et iga reaalarvulise muutuja x korral leidub funktsioonil f(x)=cos x reaalarv y. [br][br]Nüüd vaatame ka koosinusfunktsiooni graafiku [b]muutumispiirkonda[/b]. Lohistame veel punkti B ning vaatame punkti B koordinaatide ordinaati ning näeme, et ordinaat ei oma suuremat väärtust kui arv 1 või väiksemat väärtust arvust -1. Seega koosinusfunktsiooni muutumispiirkonnaks on [ -1; 1 ].
Tangensfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond
Järgneva dünaamilise slaidi abil on võimalik demonstreerida kuidas tekib tangensfunktsioon. [br][br][b]Punkti C[/b] lohistamisel tekib meil tangensfunktsioon lõigus [-π/2;π/2], [b]Punkti B[/b] lohistamisel tekib meil tangensfunktsioon lõigus [-3π/2;-π/2] ja [b]Punkti D[/b] lohistamisel tekib meil tangensfunktsioon lõigus [π/2;3π/2] ning mida aeglasemalt punkte lohistada seda tihedam tuleb funktsioonigraafik. Kogu tangensfunktsiooni graafiku nägemiseks teha linnuke vastavasse kasti.[br][br]Näeme, et tangensfunktsioon ei ole iga x-i korral määratud ja funktsiooni jäävad justkui augud sisse. Sellest ka tangensfunktsiooni graafiku [b]määramispiirkond[/b], kogu reaalarvude hulk R, välja arvatud arvud kujul (2n+1)π/2, kus n ∈ Z. Sellised arvud saame graafikul näidata püstasümptootidena, pannes vastavasse kasti linnuke.[br][br]Nüüd vaadates tangensfunktsiooni graafiku [b]muutumispiirkonda[/b]. Tangensfunktsioon on lõpmatu igas oma määratud vahemikus ehk ei leidu suurimat ega vähimat y väärtust, seega tangensfunktsiooni muutumispiirkonnaks on kogu reaalarvude hulk R.