Ｅを極とする外接三角形H'JIを作ることができた。[br]ポイントは[math]\frac{\text{DE }}{\text{EH'}}\cdot\frac{\text{H'H}}{\text{DH}}=0.5[/math]を使ったこと。[br][br]

上のことが言えるためには、接点と極と頂点と極線の比が一定であることを示す必要がある。[br]下図[br]楕円に外接する三角形の頂点と接点と極と極線の作る比について[br][math]\frac{BE}{EF}\cdot\frac{FN}{BN}=2[/math]という関係が成り立ち、これは必要十分条件である。[br][br]外接三角形なら、[br]少しややこしいけど、ＢＥ＝ＥＰ＋ＰＢを代入して、下図左の条件を使って計算すれば、ちゃんと２になる。これも計算問題として面白い。[br][br]この条件が、外接三角形の必要十分条件だった。[br]

この二つの条件から[math]\frac{BE}{EF}\cdot\frac{FN}{BN}=2[/math]が出てくる。[br]これらの証明は、円に関する相似と、チェバとメネラウスの定理によって証明される。[br][br][math]\frac{EP}{PB}\cdot\frac{BN}{NE}=1[/math][b][url=https://www.geogebra.org/m/kzmsGHAU]条件の証明[/url][/b][br][br][math]\frac{FE}{EP}\cdot\frac{PN}{NF}=1[/math]の[url=https://www.geogebra.org/m/QGCT5FPu][b]証明[/b][/url]