GeoGebra Institute of Jelgava, Dec 20, 2015

Interaktīvi materiāli matemātikā 11. klasei

Nevienādības un nevienādību sistēmas ir viens no algebriskiem modeļiem, ko lieto, risinot uzdevumus, kas saistīti ar ikdienas dzīvi, dabaszinātnēm, ekonomiku. Nevienādības un to sistēmas bieži izmanto, raksturojot citus matemātiskos modeļus, izdarot dažādus novērtējumus, salīdzinājumus, piemēram, par funkcijām, arī ģeometrijā. Līdzīgi kā vienādojumus, arī nevienādības var atrisināt ar dažādām metodēm, šo metožu izpratne un prasme saskatīt to lietošanas iespējas ir nozīmīga arī turpmākajā mācību satura apguvē. Skolēniem jau ir prasmes atrisināt dažādus algebriskus vienādojumus, kā arī lineāras un kvadrātnevienādības. Šīs prasmes ir nepieciešamais priekšnosacījums, lai veiksmīgi risinātu arī citas nevienādības. Skolēniem ir zināšanas par darbībām ar kopām (kopu šķēlums, apvienojums). Nepieciešams nostiprināt izpratni par to, ko nozīmē atrisināt nevienādību, nevienādību sistēmu. Skolēni, izprotot sarežģītāku algebrisko nevienādību atrisināšanas dažādās iespējas, izmantojamās idejas, tās turpmāk varēs lietot atbilstoši situācijai. Būtiska ir spriedumu par darbībām ar pozitīviem un negatīviem skaitļiem izmantošana, nosakot reizinājuma vai dalījuma zīmi, izpratne par intervālu metodes lietošanu kvadrātnevienādību, trešās un ceturtās pakāpes nevienādību, daļveida nevienādību atrisināšanā. Gan lietojot intervālu metodi, gan atrisinot vienkāršās nevienādības ar moduli, skolēniem būtu jāsaskata ģeometrisko interpretāciju priekšrocības. /DZMIC materiāli/

This chapter does not contain any resources yet.

Ikviens savā ikdienas dzīvē saskaras ar dažādiem ģeometriskiem pārveidojumiem. Piemēram, arhitektūras, etnogrāfijas vai mākslas darbos var saskatīt, ka to elementi ir izkārtoti noteiktā ritmā vai simetriski. Ģeometrijas mācību saturā nozīmīga ir ne vien figūru un to īpašību izpratne un pielietošana, bet arī figūru pārveidojumi. Ģeometrisko pārveidojumu izpratne attīsta tēlaino, konstruktīvo un kombinatorisko domāšanu. Ģeometrisko pārveidojumu apguves laikā skolēns atkārto plaknes figūru īpašības, piemēram, saskata homotētijas saistību ar līdzību, interpretē paralēlo pārnesi ar vektoru palīdzību. Definējot ģeometriskos pārveidojumus kā funkcijas, tiek paplašināta funkcijas un ar to saistīto jēdzienu izpratne. Priekšstats par paralēlo pārnesi un simetriju ir radīts pamatskolā ne tikai matemātikas, bet arī informātikas, vizuālās mākslas un mājturības stundās. Tematā tiek aplūkota paralēlā pārnese, aksiālā simetrija, pagrieziens (centrālā simetrija kā pagrieziena speciālgadījums) un homotētija, kā arī šo pārveidojumu svarīgākās īpašības, šo īpašību lietojums konstrukcijas, aprēķinu un pierādījuma uzdevumos. /DZMIC materiāli/

This chapter does not contain any resources yet.

Ikvienam cilvēkam ir būtiski izkopt spēju objektīvi izvērtēt un analizēt pieejamo informāciju, lai radītu adekvātu priekšstatu par dažādiem procesiem (sabiedriskiem, ekonomiskiem u.c.), kā arī lai spētu kaut nedaudz prognozēt tālākās procesu tendences. Statistikas elementu apguve nepieciešama, lai skolēni izprastu un spētu izvērtēt informāciju, kas iegūta no dažādiem avotiem vai eksperimentāli, veicot pētījumu vai aptauju. Datu statistiskās analīzes elementi ir zināmi jau no pamatskolas, tos apgūst un izmanto ne tikai matemātikas, bet arī informātikas, ģeogrāfijas u.c. mācību priekšmetu stundās. Skolēni ir iepazinušies ar jēdzieniem: vidējais aritmētiskais, amplitūda, moda, mediāna, biežums, relatīvais biežums. Svarīgākie jaunie jēdzieni statistikas elementu apguvē ir: ģenerālkopa, izlase, histogramma, poligons, standartnovirze, normālsadalījums, korelācija. Temata apguvē aktualizē, kā vārdisku informāciju var pārveidot par skaitlisku, lai to varētu apstrādāt, analizēt un pētīt ar matemātiskām metodēm. Svarīgi ir ne tikai pilnveidot prasmi aprēķināt, bet veidot izpratni par vidējo un izkliedes mēru nozīmei datu analīzē. Vienkāršības labad uzdevumos, kur nepieciešams veikt aprēķinus, izpratnes un prasmju iegūšanai izmanto nelielu skaitu datu, tāpēc ir būtiski uzsvērt, ka dzīvē statistiku lieto tad, kad datu apjoms ir ļoti liels, aprēķinu veikšanai izmantojot informācijas tehnoloģijas. Mācību procesā nepieciešams dot iespēju veido pieredzi IT lietošanā statistisko datu apstrādē un attēlošanā. Šajā tematā skolēniem tiek sniegts priekšstats par divu datu kopu saistību − korelāciju. Tematā tiek piedāvāti vizuālie materiāli, kuros tiek demonstrēts, kā dažādu dabas procesu raksturojošie dati atbilst normālsadalījumam. /DZMIC materiāli/

• 1. Korelācija un regresijas līkne
• 2. Kastu diagrammu zīmēšana
• 3. Formatīvā vērtēšana - Kvartiles noteikšana

Kombinatorikas elementu iekļaušana vidusskolas matemātikas kursā ir likumsakarīga, jo pasaulē ir vērojams diskrētās matemātikas aktualitātes pieaugums. Šajā tematā skolēni nostiprina un pilnveido kombinatorisko domāšanu, kuras attīstīšana sākta jau sākumskolā un pamatskolā, kas tika aktualizēta arī ģeometrisko pārveidojumu apguves laikā. Kombinatorisko metožu lietojumu ir iespējams demonstrēt dažādās jomās: spēlēs, kodēšanā, komplektācijās, loģistikā, ģeometrijā un bioloģijā. Tematā iegūtās zināšanas un prasmes būs nepieciešams un iespējams izmantot nākamo tematu apguvē (Varbūtību teorijas elementi, Stereometrijas ievads, Prizmas). No pamatskolas matemātikas kursa skolēni prot grupēt elementus pēc dotajiem nosacījumiem, noteikt prasītā veida grupu skaitu, skolēniem ir zināmi kopu teorijas pamatjēdzieni. Svarīgākie jēdzieni kombinatorikas elementu apguvē ir: sakārtota/nesakārtota izlase, permutācija, variācija, kombinācija, faktoriāls. Tiek apgūta jauna simbolika. Svarīgi izprast un lietot kombinatorikas pamatlikumus. Šajā tematā nevajadzētu aprobežoties tikai ar formulu reproducēšanu, jo kombinatorika nav tikai izlašu skaita noteikšana, bet veicināt īpašo kombinatorisko domāšanas veidu. Kombinatorika pēta dotas kopas elementu un apakškopu sakārtojumus, dažādus kombinatoriskus objektus, kas veidoti pēc noteikta priekšraksta. Tā ne tikai noskaidro iespējamo dažādo sakārtojumu skaitu, bet pēta šo sakārtojumu īpašības. Temata apguvē jāveido skolēnu izpratne par nepieciešamību risināt, prasme saskatīt un atrisināt piecus kombinatorikas jautājumus/uzdevumus: 1. Vai eksistē kaut viens objekts ar prasītām īpašībām? 2. Atrast/izveidot/konstruēt kaut vienu kombinatorisko objektu. 3. Cik tādu objektu eksistē? 4. Atrast algoritmu, ar kuru var viegli sameklēt visus objektus. 5. Starp visiem kombinatoriskajiem objektiem atrast vienu ar kādu “izcilāko” īpašību. Mācību procesu nepieciešams virzīt tā, lai skolēni pētnieciskā ceļā atklātu kombinatorikas pamatlikumus, izlašu skaita aprēķināšanas formulas, īpašības; pēc tam tās pierādītu. Šajā tematā var labi pilnveidot prasmi izvērtēt un interpretēt tekstu, jo saturiski ļoti dažādus uzdevumus no dažādām cilvēka darbības jomām var atrisināt, izmantojot vienu un to pašu matemātisko modeli. Kā dažādi interpretējamu objektu ieteicams aplūkot Paskāla trijstūri, saistot to ar kombināciju skaitu, tā īpašībām un Ņūtona binoma izvirzījuma koeficientiem. /DZMIC materiāli/

This chapter does not contain any resources yet.

Varbūtību teorijas elementu (kā arī matemātiskās statistikas un kombinatorikas) iekļaušana skolas matemātikas kursā ir pasaulē vispāratzīts matemātikas kursa satura modernizācijas virziens. Varbūtību teorijas elementi sniedz lielisku iespēju izprast matemātiku ne tikai kā formālu faktu, likumu un algoritmu krājumu, bet arī kā instrumentu ikdienas problēmu izvērtēšanai un risināšanai, kā arī notiekošo procesu un pasaules uzbūves varbūtisko aspektu novērtēšanai, piemēram, fizikā − elektrona vietu atomā nevar noteikt precīzi, bet tikai ar noteiktu varbūtību, bioloģijā − iedzimtības faktoru analīzē. Pamatskolā skolēni ir apguvuši klasisko varbūtības definīciju, kuru spēj izmantot vienkāršāko uzdevumu risināšanai. Skolēniem zināmi kopu teorijas pamatjēdzieni: kopas elements, apakškopa, kopu apvienojums, šķēlums un starpība, to attēlojums ar Venna diagrammām. Svarīgākie jēdzieni varbūtību elementu apguvē ir: gadījuma mēģinājums, notikums, iznākumu kopa, neatkarīgi un atkarīgi notikumi, savienojami un nesavienojumi notikumi. Šajā tematā tiek nostiprinātas kombinatoriskās domāšanas prasmes, nosakot notikumam labvēlīgo un visu iespējamo iznākumu skaitu. Skolēni mācās saskatīt analoģijas starp kopu teorijas pamatjēdzieniem un darbībām ar notikumiem, rēķinot notikuma varbūtību ar klasisko, ģeometrisko vai statistisko metodi. Mācību procesu nepieciešams virzīt tā, lai skolēni pētnieciskā ceļā izvērtētu un prastu pamatot varbūtību aprēķināšanas iespējas ar dažādām metodēm un lai saskatītu varbūtību teorijas lietojamības iespējas ikdienā. Šajā tematā var labi pilnveidot prasmi interpretēt tekstu vai citu informācijas avotu (attēlu, datorsimulāciju) kā matemātisku modeli, izmantojot daudzveidīgus uzdevumus no dažādām cilvēka darbības jomām. /DZMIC materiāli/

This chapter does not contain any resources yet.

Stereometrijas pamatjēdzienu apguve veicina telpiskās uztveres attīstību, kura nepieciešama ne tikai arhitektam, māksliniekam, dizaineram, celtniekam, konstruktoram, jo mēs dzīvojam trīsdimensiju telpā. Šis temats ir viens no tiem, kurā var labi parādīt matemātikas aksiomātisko uzbūvi, izpratni par pamatojumu nepieciešamību, pilnveidot skolēnu prasmes pamatojumu veikšanā. Skolēni jau pamatskolā ir iepazinušies ar vienkāršākajiem telpiskajiem ķermeņiem: kubs, taisnstūra paralēlskaldnis, piramīda, cilindrs, konuss un lode, kā arī ir lietojuši formulas šo ķermeņu virsmu laukumu un tilpumu aprēķināšanai. Apgūstot jaunos jēdzienus, telpas elementus, to savstarpējo novietojumu, īpašības, tās iespējams uzskatāmi demonstrēt, izmantojot skolēniem jau pazīstamos telpiskos ķermeņus. Svarīgākie jaunie jēdzieni ir: leņķis starp taisnēm telpā, perpendikuls pret plakni, slīpne un tās projekcija, leņķis starp taisni un plakni, divplakņu kakta leņķis, šķēlums, paralēlā projekcija. Šķēlumu veidošanā tiek apgūti vispārējie principi, vēlāk prasmes tiks nostiprinātas, veicot konstrukcijas konkrētos daudzskaldņos nākamajos tematos. Šajā tematā vajadzētu maksimāli veicināt telpiskās domāšanas attīstību, veidojot atbilstošus telpiskus modeļus, to attēlus paralēlajā projekcijā un telpisko ķermeņu izklājumus, kā arī atbilstošas, matemātiski precīzas simbolikas lietošanu. Vēlams temata mācīšanā izmantot mūsdienīgas tehnoloģijas, demonstrējot attēlus, dažādus telpas elementu savstarpējos novietojumus, konstrukciju gaitu. /DZMIC materiāli/

This chapter does not contain any resources yet.

Temata apguve paplašina priekšstatu par funkciju lietojumu, pilnveido vienādojumu un nevienādību atrisināšanas prasmes, attīsta algoritmisko domāšanu, dod pieredzi vizuālu modeļu (trigonometriskais vienības riņķis) daudzpusīgai izmantošanai. Trigonometrijas pamatjēdzieni ir neatņemama matemātiskās kultūras sastāvdaļa, jo tos lieto citu tematu apguvē. Trigonometrisko funkciju, sakarību izpratne sekmē atsevišķu fizikas tematu apguvi. Vienādojumu atrisināšanas metožu saskatīšana un lietošana būs noderīga arī turpmākajos algebras tematos. Pamatskolā ir apgūtas trigonometriskās sakarības taisnleņķa trijstūrī, 10. klasē paplašinot leņķa jēdzienu, ieviests trigonometrisko funkciju jēdziens. Skolēni prot izpildīt algebriskus pārveidojumus, viņiem ir pieredze lietot dažādas vienādojumu atrisināšanas metodes, risinot algebriskus vienādojumu. Skolēniem jauni ir jēdzieni: arcsina, arccosa, arctga, arcctga, kuri ieviešami, kā leņķa apzīmējums, ja to nav iespējams precīzi izteikt; nav paredzēts izvērst ciklometrisko funkciju jēdzienu. Salīdzinājumā ar līdzšinējo pieeju, šī temata satura apjoms ir samazināts, saturā atstāts būtiskākais un mainīti daži akcenti. Skolotāja galvenais uzdevums – parādīt tieši risināšanas metožu zināmu universālumu un funkcionālo sakarību daudzveidību, pilnveidot izpratni par definīcijas apgabala nozīmi un vienādojuma atrisināšanu. Tematā turpinās pamatošanas prasmju pilnveide, pierādot dažādas trigonometriskās sakarības. Jāpievērš uzmanība darbam ar informāciju, tās atlasi, piemēram, izvēloties nepieciešamo formulu. Svarīgi, ka nevis sarežģītu un samākslotu vienādojumu risināšana, bet gan nelielu, tomēr pilnīgi izprastu uzdevumu atrisināšana liecina gan par temata apguvi, gan arī par to, ka skolēnos veidojas zināmas kompetences šajā jomā. /DZMIC materiāli/

• 1. Reduction Formulae
• 2. Vienādojuma cosx=a atrisinājums
• 3. Vienādojuma sinx=a atrisinājums
• 4. Vienādojuma tgx=a atrisinājums
• 5. Vienādojuma ctgx=a atrisinājums

Prizma kā telpisks ķermenis un vienkāršākais daudzskaldnis veicina telpiskās uztveres attīstību, saskatot prizmas modeļus reālā telpā un mākslas darbos. No pamatskolas skolēni jau zina dažus prizmas speciālgadījumus: kubu un taisnstūra paralēlskaldni, izmantojot formulas, prot aprēķināt to virsmu laukumus un tilpumu. Jaunie jēdzieni: taisna prizma, slīpa prizma, regulāra prizma, diagonālšķēlums. Šajā tematā tiek nostiprinātas skolēnu prasmes klasificēt prizmas, pamatot sakarības starp prizmas elementiem (leņķiem, šķautnēm, skaldnēm), pētnieciskā ceļā izvērtēt un konstruēt prizmas šķēlumus ar plakni; veikt reālu ģeometrisku ķermeņu tilpuma un virsmu laukuma aprēķināšanu, izmantojot mērījuma rezultātus. Veicot aprēķinu un konstrukciju uzdevumus prizmā, tiek pilnveidota prasme, saskatīt un izmantot plaknes figūras un to īpašības. Lai veicinātu skolēnu telpisko un kombinatorisko domāšanu, vēlams skolēnus rosināt praktiskai un teorētiskai darbībai ar prizmu modeļiem. /DZMIC materiāli/

This chapter does not contain any resources yet.