In diesem Applet wird eine sogenannte logistische Differentialgleichung numerisch gelöst. Verwendet werden dabei zwei Verfahren: - das bereits bekannte Euler-Verfahren (=RK1) - das sogenannte Verfahren von Runge (=RK2) Mit den vier Buttons kannst du die Schrittweite der beiden Verfahren gesondert steuern und beobachten, wie gut diese die Lösung approximieren. Der dargestellte blaue "Schlauch" ist ein Bereich, in dem alle Punkte in ihrer y-Koordinate kleiner als b/2 von der Lösung unterschiedlich sind. Ist ein Polygonzug in diesem Schlauch, so ist die numerische Näherung also maximal um b/2 von der tatsächlichen Lösung verschieden.
Wir nutzen den blauen Schlauch um ein wenig über die Konvergenzordnung der Verfahren zu erfahren. - Stelle den Wert b auf 0.5 - Erhöhe die Schrittweite beider Verfahren so lange, bis gerade beide Polygonzüge innerhalb des Schlauchs liegen - Notiere dir die Schrittanzahl die du gerade eingestellt hast in einer Tabelle - Führe diese Schritte für b=0.25, b=0.125 und b=0.06125 durch. Achtung: die Schrittanzahl wird dabei ziemlich groß werden - erstelle einen doppeltlogarithmischen Plot der Tabelle (am Computer oder mit einem doppellogarithmischen Papier). Dabei wird in der y-Achse der Wert b, und in der x-Achse die Schrittanzahlen der beiden Verfahren. - Verbinde nun die so entstandenen Paare von Punkten mit einer Geraden (es wird keine exakte Gerade herauskommen, mache also eine Regression mit dem freien Auge) - Versuche die Steigung der Geraden zu ermitteln - Besprich die Lösung mit deinem Lehrer