[size=85][right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color][color=#0000ff][b] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/b][/color][/size] [b][color=#ff7700][i][size=50]verbessert Juni 2021[/size][/i][/color][/b][br][/right][br]Vier verschiedenen [color=#666666][i][b]Punkten[/b][/i][/color] sind invariant drei [color=#0000ff][i][b]orthogonale Geraden[/b][/i][/color] des Geradenraums zugeordnet, deren [color=#ff0000][i][b]Pole[/b][/i][/color] die [/size][size=85][color=#666666][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size][size=85] [br]paarweise [i][b]harmonisch[/b][/i] trennen. [/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color][/size][/size][/size] der [/size][size=85][size=85][color=#666666][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size] sind somit auch [/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color][/size][/size][/size] der [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]orthogonalen Geraden[/b][/i][/color][/size]. [br]Die [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Pole[/b][/i][/color][/size] der [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]orthogonalen Geraden[/b][/i][/color][/size] bilden auf der Kugel ein [b][i]Oktaeder[/i][/b], die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color][/size][/size][/size][/b][/i][/color][/size][/size] der [/size][size=85][size=85][color=#666666][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size] liegen demnach [br]in der [b][i]Oktaeder-Gruppe[/i][/b]. [br]Die [i][b]Oktaeder-Gruppe[/b][/i] besteht aus 48 [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color][/size][/size][/size][/b][/i][/color][/size], davon sind 24 gleichsinnige [color=#0000ff][b]Möbiustranformationen[/b][/color]. [br]Verschiedene [color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color] sind oben angezeigt.[br]Die [/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color][/size][/size][/size] der [/size][size=85][size=85][i][b]Oktaeder-Gruppe[/b][/i][/size] sind zugleich die [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color][/size][/size][/size][/b][/i][/color][/size] des [i][b]Würfels[/b][/i], dessen Ecken auf den [br]Winkelhalbierenden-Kreisen liegen. [br]In geeigneten euklidischen Koordinaten sind[/size] [math]\left\{0,\infty,-1,1,-i,i\right\}[/math] [size=85]die [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Pole[/b][/i][/color][/size] der [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]orthogonalen Geraden[/b][/i][/color][/size] [br]und[/size] [math]\left\{f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}\right\}[/math] [size=85]die 4 vorgegebenen [/size][size=85][size=85][color=#666666][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size] für ein geeignetes [/size][math]f\in\mathbb{C}[/math]. [br][size=85]Die Würfeleckpunkte in [b]Gauss[/b]koordinaten, dh. in [math]\mathbb{C}[/math], erhält man aus[/size] [math]w=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\cdot\left(1+i\right)=\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\cdot\frac{\pi}{4}}[/math] [size=85][br]durch Drehungen um[/size] [math]\frac{\pi}{2}[/math] [size=85]und Spiegelung am Einheitskreis. [/size][br][list][*][size=85]Ist die absolute Invariante [/size][math]\mathbf \mathcal{J}[/math] [size=85]der 4 [color=#666666][b][i]Punkte[/i][/b][/color] nicht reell, so besteht die [color=#BF9000][i][b]Symmetriegruppe[/b][/i][/color] der [/size][size=85][size=85][color=#666666][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size] nur aus den [br]Punktspiegelungen an den Geradenpolen, das sind[/size] [math]z\mapsto-z,z\mapsto\frac{1}{z},z\mapsto-\frac{i}{z}[/math]. [math]z\mapsto w[/math][br][/*][*][size=85]Ist[/size] [math]\mathbf \mathcal{J}[/math] [size=85]reell und[/size] [math]\mathbf \mathcal{J}>0[/math], [size=85]so liegen die [/size][size=85][size=85][color=#666666][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size] [color=#ff0000][b][i]konzyklisch[/i][/b][/color] auf einem der orthogonalen Kreise durch die [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]Pole[/b][/i][/color][/size]; [br]zu den [/size][size=85]Punktspiegelungen kommen nun noch die Spiegelungen an den orthogonalen Kreisen hinzu, [br]im euklidischen KOS sind das die Spiegelungen an den Achsen und am Einheitskreis: [br][/size] [math]\mbox{ }z\mapsto \bar{z},\,z\mapsto-\bar{z},\,z\mapsto\frac{1}{\bar{z}},\,z\mapsto-\frac{-1}{\bar{z}}[/math] [br][/*][*][size=85] Ist[/size] [math]\mathbf \mathcal{J}[/math] [size=85]reell ,[/size] [math]\mathbf \mathcal{J}<0[/math] [size=85]und[/size] [math]\mathbf \mathcal{J}\ne-1[/math],[size=85] so kann man das KOS so legen, dass die [/size][size=85][size=85][color=#666666][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size] auf den [br]Winkelhalbierenden liegen. [br]Die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#666666][i][b]Punkte-Paare [math]\left\{f,-f\right\},\left\{\frac{1}{f},-\frac{1}{f}\right\}[/math][/b][/i][/color][/size][/size] liegen spiegelbildlich auf 2 [color=#0000ff][i][b]orthogonalen Kreisen[/b][/i][/color].[br]Zu den Punktspiegelungen kommen nur die beiden Spiegelungen an den Winkelhalbierenden hinzu.[/size][/*][*][size=85]Ist [math]\mathbf \mathcal{J}=0[/math] und sind die [/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#666666][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size][/size][/size] verschieden, so liegen die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#666666][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size][/size] [i][b]harmonisch[/b][/i]. Das KOS kann dann so gewählt [br]werden, dass die [/size][size=85][size=85][color=#666666][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size] die Schnittpunkte des Einheitskreises mit den Winkelhalbierenden sind. [br]Sie sind damit sowohl [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color], als auch spiegelbildlich auf 2 [color=#0000ff][i][b]orthogonalen Kreisen[/b][/i][/color].[br]Die [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color][/size] sind die [/size][size=85][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color][/size][/size] eines [i][b]Quadrats[/b][/i]: 4 Drehungen um [math]\pi/2[/math] und 4 Spiegelungen.[/size][br][/*][*][size=85]Ist[/size] [math]\mathbf \mathcal{J}=-1[/math], [size=85]so bilden die [/size][size=85][size=85][color=#666666][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size] auf der Möbiusquadrik einen [i][b]Tetraeder[/b][/i]. Die [i][b]Tetraeder-Gruppe[/b][/i][/size] [size=85]enthält nur die [br]Drehungen um die Achsen [i]nicht[/i]. [/size][size=85]Sie besteht aus 12 gleichsinnigen und insgesamt 24 [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color][/size] [br]und ist damit die Konfiguration von 4 [/size][size=85][size=85][color=#666666][i][b]Punkten[/b][/i][/color][/size] mit den meisten [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrieen[/b][/i][/color][/size]. [br]Die aus [color=#0000ff][b]Möbiustransformationen[/b][/color] bestehende [/size][size=85][size=85][i][b]Tetraeder-Gruppe[/b][/i][/size] ist zugleich die [i]Permutationsgruppe[/i] der 4 [/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#666666][i][b]Punkte[/b][/i][/color][/size][/size][/size]![/size][/*][/list]