Si la función [math]y=f\left(x\right)[/math] admite derivada finita en un punto, su incremento puede expresarse así:[br][center][math]\Delta f=f'\left(x_0\right).\Delta x+R[/math][/center]siendo [math]R[/math] un infinitésimo para cuando [math]\Delta x\longrightarrow0[/math], tal que [math]R[/math] depende de [math]\Delta x[/math] ([math]R\left(\Delta x\right)[/math]). Al primer término (parte principal del incremento) si [math]f'\left(x_0\right)\ne0[/math], se lo llama diferencial de la función, y se escribe:[br][br][center][math]df=f'\left(x_0\right).\Delta x[/math][/center][u]Definición[/u]: [i][color=#38761d]Diferencial en el punto [/color][math]x_0[/math][color=#38761d] de una función derivable en ese punto, es el producto de la derivada por el incremento arbitrario de la variable independiente.[/color][/i][br][br]En particular, considerada [math]x[/math] como función de [math]x[/math], por se su derivada 1, será: [math]\Delta x=dx[/math] ; luego, es indiferente poner [math]\Delta x[/math] o [math]dx[/math] , por lo tanto:[br][br][center][math]df=f'\left(x_0\right)dx[/math][/center]es decir: [i]la diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente.[/i] (expresión analítica de la diferencial).[br][br]El incremento [math]\Delta x[/math] o [math]dx[/math] puede ser cualquiera, sea constante o variable, tienda o no a cero, se verifica que:[br][br][center][math]f'\left(x_0\right)=\frac{df}{dx}[/math][/center][justify]Esta igualdad permite considerar al primer miembro no solo como un cociente de diferenciales, sino como una nueva forma de expresar la derivada.[/justify][u]Interpretación geométrica[/u]:[br]La diferencial de una función en un punto [math]x_0[/math] se interpreta geométricamente como [i][color=#38761d]el incremento que sufre la tangente cuando se pasa del punto [/color][/i][math]x_0[/math][i][color=#38761d] a [/color][/i][math]\left(x_0+\Delta x\right)[/math][i][color=#38761d].[br][br][/color][/i]Nota: [math]R[/math] es el error cometido al aproximar los incrementos [math]\Delta f[/math] y [math]df[/math] .