Вершины треугольника соединены с некоторой точкой. По отношениям m, n, в которых прямые, исходящие из двух вершин, делят противолежащие стороны, считая от третьей стороны, определить отношение, в котором прямая, исходящая из третьей вершины, делит противолежащую сторону.

По условию задачи [math]\frac{AD}{DB}=m[/math] и [math]\frac{CE}{EB}=n[/math]. Требуется найти [math]\frac{AF}{FC}[/math].[br]Пусть [math]\frac{FG}{GB}=k[/math].[br]Рассмотрим треугольник ABF и прямую DG пересекающую продолжение стороны AF в точке C. По теореме Менелая (задача Д156) можем записать пропорцию: [math]\frac{AC}{CF}=\frac{\left(\frac{AD}{DB}\right)}{\left(\frac{FG}{GB}\right)}=\frac{m}{k}[/math] (1).[br]Аналогично, для треугольника FBC можем записать пропорцию:[math]\frac{FA}{AC}=\frac{\left(\frac{FG}{GB}\right)}{\left(\frac{CE}{EB}\right)}=\frac{k}{n}[/math] (2).[br]Если взять пропорцию (1) и умножить её первое отношение на первое отношение пропорции (2) и второе отношение на второе отношение пропорции (2), то пропорция не нарушится. Значит можем записать: [math]\frac{AF}{FC}=\frac{m}{n}[/math]. Что и требовалось найти.[br][br]Это теорема называется теоремой Чевы.[br][br]Джованни Чева - итальянский математик и инженер (1647 - 1734). Он доказал эту теорему в 1678 году (ему был 31 год).[br][br]Чевиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.