Zur Beschreibung von Ebenen (Flächen) und Geraden verwende ich Funktionen.[br]Die Geradenfunktion wird automatisch auch in 3D gezeichnet. [br]Im Algebrafenster trägt das CAS die Gerade in algebraähnlicher Schreibweise mit Ortsvektor und Richtungsvektor ein - im CAS (Ausgabezeile) wird die Gerade in einen Vektor gepackt, Orts- und Richtungsvektor werden 'zusammengezogen'. Bei der Geraden h, die durch die 2 Punkte P,Q definiert wird, setze ich den Vektor-Befehl ein, um die Ausgabe in Vektor-Schreibweise zu erzwingen - liest sich leichter (jedenfalls in füheren Versionen - aktuell x.0.774 ignoriert Vector() .[br]Mit den Funktionen kann ich Punkte auf der Geraden angeben, z.B. den Ortsvektor für Punkt P oder auch den Richtungsvektor der Geraden h.[br][br][br][table][tr][td]Mathe [/td][td]Eingabe CAS [br][/td][td][br][/td][td]Command[/td][/tr][tr][td] [math]g:\vec{x}=\vec{o}+t\cdot\vec{r}[/math][br][math]g:\vec{x}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\\1\end{matrix}\right)+t\left(\begin{matrix}2\\-1\\-1\end{matrix}\right)[/math][br] [/td][td][color=#1155cc][size=50]1[/size][/color] [color=#1155cc][size=85]g(t):=(1,-2,1) + t (2,-1,-1)[/size][/color][br][color=#1155cc][size=85][math]\rightarrow[/math][b]g(t):=( 1 + 2t , -2 - t , 1 - t)[/b][/size][/color][b][/b][br][br][/td][td][size=85]Gerade aus Orts- und[br]Richtungsvektor[br]Geradenpunkform[/size][br][/td][td][size=85]Line((1, -2, 1), Vector((2, -1, -1)))[/size][br][/td][/tr][tr][td][math]h:\vec{x}=P + t*(Q-P)[/math][/td][td][color=#1155cc][size=50]2 [size=85]h(t):= P + t (Q-P) [/size][/size] [/color][/td][td][size=85]Gerade durch 2 Punkte P,Q [/size][br][/td][td][size=85]Line(P, Q)[/size][br][/td][/tr][tr][td][math]\vec{r} = \left(\begin{matrix}2\\-1\\-1\end{matrix}\right)[/math][/td][td][color=#1155cc][size=50]3[/size] [size=85]r:=h(1) - h(0)[/size][/color][br][/td][td][size=85]Richtungsvektor berechnen[/size][br][/td][td][size=85]Direction(h)[/size][/td][/tr][tr][td][math]\vec{o} = \left(\begin{matrix}1\\-2\\1\end{matrix}\right)[/math][/td][td][color=#1155cc][size=50]4[/size] [size=85]o:=h(0)[/size][/color][/td][td][size=85]Ortsvektor berechnen[/size][br][/td][td][size=85]h(0)[/size][/td][/tr][/table]
Die unter 1 definierte Gerade g(t) aus Orts- und Richtungsvektor schreibt GeoGebra um indem es die Rechenoperationen ausführt und im CAS diese Punktform einer Geraden darstellt:[br][br][math]g:=\vec{x}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1+2t\\-2-t\\1+t\end{matrix}\right)[/math][br][br]Siehe (7) Latex-Text zur allgemeinüblichen Geradendarstellung (Parameterform) im CAS.[br][br][br]R² Geraden Parameterform zu Koordinatenform[br][table][tr][td]Mathe [/td][td]Eingabe CAS [br][/td][td][br][/td][/tr][tr][td] [math]\vec{X}= \left( \begin{align}1 \\ -2 \end{align} \right) + t \left( \begin{align}2 \\ -1 \end{align} \right) \\[br]\left( \begin{align}x \\ y \end{align} \right) = \left( \begin{align}2 \; t + 1 \\ -t - 2 \end{align} \right)[/math][br] [/td][td][color=#1155cc][size=50]8[/size][/color] [color=#1155cc][size=85]f(t):=(1,-2) + t (2,-1)[/size][/color][br][color=#1155cc][size=85][b]f(t):=( 1 + 2t , -2 - t )[/b][/size][/color][br][/td][td][size=85]Gerade aus Orts- und[br]Richtungsvektor[/size][br][/td][/tr][tr][td][math] t = \frac{1}{2} \; x - \frac{1}{2} [/math][/td][td][color=#1155cc][size=50]9 [/size] [size=85]solve(x-f(t) (1,0),t)[/size][/color][/td][td][size=85]Bestimme t aus x-Koordinate[br]x=(1+ 2 t) [/size]→ [size=85]t =1/2x-1/2[/size][br][/td][/tr][tr][td][math]p(x) \, := \, \frac{-1}{2} \; x - \frac{3}{2}[/math][/td][td][color=#1155cc][size=50]10[/size] [/color][size=85][color=#1155cc]p(x):=Substitute(f(t) (0, 1), $9)[/color][/size][br][/td][td][size=85]t einsetzen in y = [/size][size=85]-2 - t[/size][br][/td][/tr][tr][td][br][/td][td][color=#1155cc][size=50] [size=85]Koordinatenform[/size] p(x)[/size][/color][/td][td][size=85]und def als Funktion [br][/size][br][/td][/tr][/table]
[math]g:=\vec{x}=\left(\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\\1\end{matrix}\right)+t\cdot \left(\begin{matrix}2\\-1\\1\end{matrix}\right)[/math][br]Diese Schreibweise einer Geraden finden sie im Algebrafenster wieder.
(1) und (2)[br]Eingabe als Ortsvektor + Richtungsvektor getrennt[br]Ausgabe in Punktform - alle Koordinaten in einem Vektor zusammengefasst.[br]Im Algebrafenster algebraübliche schreibweise mit getrenntem Ortsvektor + Richtungsvektor