Ebben a fejezetben olyan feladatokat gyűjtöttünk össze, amelyek az eddigi ismereteinkre – és eszköztárunkra – támaszkodva megoldhatók, bár olykor alaposabb meggondolásokat igényelnek. Javasoljuk olvasóinknak, hogy az itt közölt megoldásokat csak azt követően nézzék meg, hogy előzőleg megpróbálkoztak a feladat önálló megoldásával.[br][br]A feladatok megoldásához a P modell eljárásai közül elegendőek az első csoportba tartozó (méréseket nem igénylő) eljárások. Igaz ugyan, hogy ha bejelölünk egy szöget, akkor ezzel megkapjuk a mértékét is .[br][br]Bár az eredeti témánkon -a hiperbolikus (és az abszolut-) geometria modellezésén - kívül esik a gömbi geometria, a feladatok egy része megfogalmazható a gömbi geometriában is, ahol az egyenes szerepét a gömbi főkör veszi át. Ezeket az átfogalmazásokat, szemléltetésüket, megoldásukat részben megmutatjuk, részben olvasóinkra bízzuk. Ezzel azt szeretnénk megmutatni, hogy az euklideszi szerkesztések jó részt nem csak a hiperbolikus, hanem a gömbi geometriában is alkalmazhatók.[br][br]A gömbi geometriában érvényes fogalmak, tételek megfogalmazásában -megkülönböztetésül - [color=#980000]a [b]barna[/b] színt fogjuk használni. F[/color][color=#783f04]ontosnak tartjuk megjegyezni, hogy a gömbi geometria nem azonos az un. elliptikus geometriával. Az elliptikus síkgeometriát pl. egy félgömbön lehetne modellezni, erre itt nem térünk ki. Az egyenes, szakasz, szög, háromszög kör, stb. megfelelőit a gömbi geometriában a szó elé tett [/color][b][color=#980000]G[/color]-[/b] [color=#333333] jelle[/color][color=#333333]l f[/color][color=#783f04]ogjuk megkülönböztetni.[br][br][/color][list][*][color=#980000][b][i]G_Pont:[/i] [/b] az adott (alap)gömb felületére illeszkedő (ott mozgatható) pont.[/color][/*][*][color=#980000][i][b]G-Egyenes[/b]: [/i] a gömbi főkör: olyan kör, amelynek a sugara az alapgömb sugara, középpontja az alapgömb középpontja[/color][/*][*][color=#980000][i][b]G-Szakasz:[/b] a[/i] G-egyenesen felvett két G-ponthoz tartozó rövidebbik körív; (A két pont nem lehet átellenes.)[/color][/*][*][color=#980000][b][i]G-háromszög[/i][i]:[/i] [/b]gömbháromszög: három , nem egy G-egyegyenesre illeszkedő G-pontból, az általuk meghatározott három G-szakaszból, valamint, a gömbfelületnek az általuk határolt kisebb részéből álló geometriai alakzat;[/color][/*][*][color=#980000][b][i]G-kör:[/i] [/b][/color][color=#783f04] az alapgömbre illeszkedő olyan kör, amelynek az (euklídeszi értelemben vett) középpontja nem az alapkör középpontja. Ennek a [/color][i][color=#980000]G-középpont[/color][/i][color=#783f04]ja Az euklídeszi középpontján és az alapgömb középpontján átmenő alapgömb-átmérőnek a kör síkjához közelebbi végpontja.(Így a G-kör [/color][i][color=#783f04] [/color][color=#980000]G-sugara[/color][/i][color=#783f04] sugara kisebb a negyedkörívnél.)[/color][/*][*][color=#783f04] [/color][i][color=#980000][b]G-szög:[/b][/color][color=#783f04] [/color][/i][color=#783f04]Két G-egyenes vagy G-kör [u]síkjának[/u] a szöge, amely megegyezik a metszéspontjukba húzott érintők szögével.[/color][/*][/list][color=#783f04]A gömbön végzett szerkesztéseinkre is alkalmaztunk néhány saját eljárást. Reméljük, hogy ezek használata nem okozna nehézséget olvasóinknak. [br][/color]

[br][list=1][*]Legyen adott a P-modellen az [i]s[/i] kör (középpontjával és egy kerületi pontjával), valamint egy rajta kívül Levő[i] P[/i] pont! Szerkesszük meg a [i]P[/i]-re illeszkedő [i]s[/i]-t érintő egyeneseket! [br][br][/*][*] Legyen adott a P- modellen az [i]A,B,C [/i]és[i] D[/i] pont, amelyek ebben a (ciklikus) sorrendben helyezkednek el a H-sik egy adott [i]s[/i] körén. Mit állíthatunk a kapott [i]ABCD[/i] húrnégyszög szögeiről?  Hogyan tudnánk a sejtésünket igazolni?[br][br][/*][*]Legyen adott három (nem egy egyenesre eső) pont a P-modellen: [i]A, B[/i] és [i]C[/i]. Legyen [i]D[/i]  a [i]B [/i]pontnak az [i]AC[/i] szakasz [s]F[/s] felezőpontjára vonatkozó centrális tükörképe.[br]Nevezzük [i]paralelogrammá[/i]nak az így kapott [i]ABCD [/i]négyszöget!  Az euklideszi geometriában értelmezett paralelogrammának mely tulajdonságai lesznek érvényesek a hiperbolikus geometriában is, és melyek nem?[br][br][/*][*]A háromszög szakaszfelező merőlegesei egyben magasság-egyenesei lesznek a súlyponti háromszögnek (amelynek a csúcsai az eredeti háromszög oldalfelező pontjai).[br]Igaz-e ugyanez az összefüggés a P modellen? [br]A kapott sejtésünket elfogadva igazolgató-e, hogy a háromszög magasságegyenesei egy pontban metszik egymást?[br][br][/*][*]Legyen adott a P-modellen az [i]ABC[/i]Δ . Mi azoknak a D pontoknak a mértani helye, amelyekre teljesül, hogy az ABDΔ területe egyenlő az ABCΔ területével?[br][br][/*][*]A 2017. évi Arany Dániel verseny egyik feladata ([url=http://www.bolyai.hu/AD_osszes_1617.pdf]Kezdők I.-II. kategória 2. forduló[/url]) így hangzott:[br]Egy kört az [i]AB[/i] átmérője két ívre osztja. Ezek közül az egyiken kijelöljük a [i]C [/i]és [i]D[/i] pontokat. Legyen az [i]AC[/i] [i]és BD [/i]egyenesek metszéspontja [i]P[/i], az [i]AD[/i] és [i]BC[/i] egyeneseké pedig [i]Q[/i]! Mekkora szöget zár be a [i]PQ[/i] egyenes az [i]AB[/i] átmérővel? Vizsgáljuk meg ugyanezt a kérdést a P-modellen, majd a gömbi geometriában is![br][br][/*][*]Legyen [i]A, B, C, D[/i] egy egyenes négy pontja, továbbá legyen[i] M[/i] a [i]CD[/i] szakasz felező merőlegesén mozgó pont! Legyen [i]C'[/i] a C pontnak az [i](AM)[/i] egyenesre, [i]D'[/i] a [i]D[/i] pontnak a[i] (BM[/i]) egyenesre vonatkozó tükörképe![br]Mit állíthatunk a [i](C’D’)[/i] egyenesről? Vizsgáljuk meg ugyanezt a kérdést a P-modellen is![br][br][/*][*] Legyen adott egy egyenesen két pont, A és B. Szerkesszünk olyan egymást érintő köröket, amelyek egyike az adott egyenest A-ban, másikat B-ben érinti. Mi a két kör közös pontjának a mértani helye? Oldjuk meg ezt a feladatot az euklideszi, a hiperbolikus geometriában, végül a gömbön is.[br][br][/*][*]Az előző feladat általánosítása: Legyen három, egymástól különböző pont [i]A, B[/i] és [i]C. [/i]Szerkesszünk három, egymást páronként érintő kört (ciklust), amelyek érintési pontjai A, B és C![br][br][/*][*]Legyen adott egy kör (középpontjával és kerületi pontjával), valamint egy egyenes . Szerkesszük meg az adott egyenesre merőleges, az adott kört érintő egyeneseket. [br][br][/*][*]Legyen adott a P-modell két köre. Szerkesszük meg a két kör közös külső és belső érintőit![br][/*][/list]