Als nächstes untersuchen wir, wie sich der Graph im Unendlichen, d.h. ganz auf der rechten Seite ([math]x\rightarrow+\infty[/math]) bzw. ganz auf der linken Seite ([math]x\rightarrow-\infty[/math]) verhält. Kurz spricht man deshalb vom Verhalten für [math]x\rightarrow\pm\infty[/math]. Unsere Frage lautet: Wie kann man anhand des Funktionsterms herausbekommen, wie sich der Graph am rechten und linken Rand verhält?[br][br]Wir betrachten dazu, wie sich eine ganzrationale Funktion verhält, wenn der Betrag von x immer größer wird. Im folgenden Applet ist eine ganzrationale Funktion gegeben. Mit Hilfe des Schiebereglers kann man den x-Wert sehr groß positiv bzw. sehr groß negativ werden lassen. Tun Sie dies. Welcher Term entscheidet bei unendlich großen Beträgen von x über das Vorzeichen von dem Gesamtergebnis?

Als Ergebnis halten wir fest: Das Verhalten für unendlich große x-Werte wird von dem Summanden mit dem [b]größten Exponenten dominiert[/b]. Deshalb können wir uns bei diesem Punkt der Untersuchung allein auf diesen Term konzentrieren.[br][br]Im obigen Beispiel sorgt also der erste Term dafür, dass für [color=#ff0000]große positive x[/color] die [color=#ff0000]Funktionswerte positiv unendlich[/color] werden. Und für [color=#38761d]große negative x[/color] sorgt der Term dafür, dass die [color=#38761d]Funktionswerte negativ unendlich[/color] werden.[br][br]Für den Graphen bedeutet dies: [color=#ff0000]Auf der rechten Seite[/color] geht er [color=#ff0000]nach oben[/color], und [color=#38761d]auf der linken Seite[/color] geht er [color=#38761d]nach unten[/color].[br][br]Kurz bringt man diesen Gedanken folgendermaßen auf den Punkt:

Und noch kürzer so:

Betrachten wir abschließend das Beispiel der Funktion [math]f\left(x\right)=-2x^4+8x^3+3x-2[/math]. Es gilt:

Das heißt, dass der Graph von f [color=#38761d]auf der linken [/color][math]\left(x\rightarrow-\infty\right)[/math] und [color=#ff0000]auf der rechten Seite [/color][math]\left(x\rightarrow+\infty\right)[/math] jeweils nach [math]-\infty[/math], d.h. nach unten geht. Dies zeigt die folgende Abbildung.