Die Funktionenlupe
Anschaulicher und kalkülfreier Einstieg in Grundvorstellungen der Differenzialrechnung. Siehe [url]www.funktionenlupe.de[/url] .
Table of Contents
- Idee
- Funktionenlupe Idee
- Lokale Steigung
- Funktionenlupe I (lokale Steigung)
- Funktionenlupe I (f(x) = |x|)
- Funktionenlupe I (x² und x³)
- Steigungsfunktionen
- Funktionenlupe IIa (Steigungsfunktionen graphisch)
- Funktionenlupe IIb (Differenzenquotientenfunktionen)
- Funktionenlupe IIc (Ableitung, Differentiograph)
- Krümmung
- Funktionenlupe III (Krümmung)
- Quadratische Approximation
- Funktionenlupe IV (Quadratische Approximation)
- Funktionenlupe IV (f(x) = exp(x) und f(x) = cos(x))
- Bogenlänge
- Funktionenlupe V (Bogenlänge)
- Pathologische Funktionen
- Pathologische Funktionen (Kirsch)
- Funktionenlupe I (Pathologische Funktion 1)
- Funktionenlupe I (Pathologische Funktion 2)
- Funktionenlupe I (Pathologische Funktion 3)
- Integrator
- Der Integrator
- Kontakt
Funktionenlupe Idee
[b]Idee[br][br][/b]Der Einstieg in die Differenzialrechung ist jklassischerweise algebarisch und kalkülorientiert.[br]Die Funktionenlupe greift die graphische Idee des Funktionenmikroskops (lokale Linearität bei sukzessiver Vergrößerung) auf, das [i]A. Kirsch[/i] 1979 mit OHP-Folien realisiert hatte. [br]Dies wird digitalisiert, dynamisiert und erheblich erweitert. Es gibt zwei Fenster, für den globalen und den lokalen Blick.[br][br]Sie wurde in dieser Form erstmals Dezember 2014 von [i]Elschenbroich, Seebach & Schmidt[/i] in [i]mathematik lehren 187[/i] publiziert und von [i]Elschenbroich [/i]auf der [url=http://cadgme2014.cermat.org/]Fifth Central- and Eastern European Conference on Computer Algebra- and Dynamic Geometry Systems in Mathematics Education[/url] (CADGME 2014) 26-29 September 2014 in Halle (Saale) vorgestellt.[br][br]Die Funktionenlupe ermöglicht einen anschaulichen und kalkülfreien Zugang zu Grundvorstellungen der Differenzialrechnung wie Steigung, Ableitung, Krümmung und Approximation.[br][br]Dass die Idee des Hineinzoomens nicht nur eine schöne didaktische Idee ist, sondern auch ein solides mathematisches Konzept, die [i]Zoom-in Methode[/i], haben Eberle & Lewintan (2019) gezeigt.[br]
Funktionenlupe I (lokale Steigung)
[size=150]Im linken Fenster ist der Graph einer Funktion f zu sehen. [br]Um einen Punkt A auf dem Graphen ist ein Quadrat gezeichnet, das eine Lupe darstellen soll.[br]Dieses Quadrat wird in das zweite Fenster übertragen und damit vergrößert.[br]Mit dem Schieberegler h kann man das Lupenquadrat im ersten Fenster verkleinern und damit [br]im zweiten Fenster eine stärkere Vergrößerung erzielen.[br][br]a) Ziehe an h und beobachte im rechten Fenster den Graphen von f. [br] Was stellst du für immer kleineres h fest? [br]b) Blende mit der Check-Box die Sekanten ein. Was passiert für immer kleineres h?[br]c) Wie kann man die Steigung von f (genauer: des Graphen von f) im Punkt A definieren?[/size][br][br]
www.funktionenlupe.de [br][br]Erstveröffentlichung: Elschenbroich, H.-J., Seebach, G. & Schmidt, R. (2014): Die digitale Funktionenlupe. Ein neuer Vorschlag zur visuellen Vermittlung einer Grundvorstellung vom Ableitungsbegriff. [br]In: [i]mathematik lehren 187[/i], 34–37.[br]
Funktionenlupe IIa (Steigungsfunktionen graphisch)
Man kann zu jedem Punkt A die linksseitige und rechtsseitige Sekantensteigung ermitteln.[br]Dieser Wert wird für x =x(A) als y-Koordinate eines Punkte P[sub]l[/sub] bzw. P[sub]r[/sub] genommen.[br]Wenn A bewegt wird, kann man den Weg von P[sub]l[/sub] und P[sub]r[/sub] betrachten und diese Punkte [br]eine Ortslinie zeichnen lassen.[br]a) Was passiert mit den beiden Punkten, wenn h sehr klein wird?[br]b) Welche Folge hat das für die Ortslinien?[br]c) Was stellst du fest, wenn du f(x) = abs(x) setzt?
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Funktionenlupe III (Krümmung)
Durch die drei Punkte A[sub]l[/sub], A, A[sub]r[/sub] kann ein Kreis konstruiert werden.[br]a) Aktiviere im rechten Fenster das Kontrollkästchen Kreis.[br]Ziehe im rechten Fenster an h und beobachte den Graphen von f und den Kreis. Was stellst du für sehr kleines h fest? Betrachte sowohl das linke als auch das rechte Fenster.[br]b) Die Krümmung eines Kreises ist 1/Radius. Wie kannst du dies nutzen, um die Krümmung des Graphen von f im Punkt A zu definieren?[br]c) Was stellst du für sehr kleines h fest, wenn du A auf dem Graphen ziehst? Gibt es besondere Fälle?
Funktionenlupe IV (Quadratische Approximation)
Aktiviere im rechten Fenster das Kontrollkästchen Parabel, ziehe an h und beobachte den Graphen von f und die Parabel.[br]Untersuche auch f(x) = exp(x) an der Stelle A =(0, 1).
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Funktionenlupe V (Bogenlänge)
Ziehe im linken Fenster an n und beobachte den roten Sehnenzug und seine Länge.
Bogenlänge - Approximation durch einen Sehnenzug
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Pathologische Funktionen (Kirsch)
Eine einfache und anschauliche Grundvorstellung von Differenzierbarkeit ist die lokale Linearität des Graphen ("sieht bei genügendem Vergrößern gerade aus"), von Nicht-Differenzierbarkeit der irreparable 'Knick'.[br]Dies ist für den Einstieg in die Thematik in der Schule sinnvoll und hilfreich.[br]Kirsch hat 1995 aber auch darauf hingewiesen, dass diese Vorstellung nicht die volle Bedeutung des Begriffes abdeckt. [br][br]Als anschauliche aber exakte Vertiefung führt Kirsch die "lokale Einschließbarkeit in beliebig enge Sektorstreifen" ein. Kirsch gibt dann drei 'pathologische' Funktionen an, die mit der obigen einfachen Grundvorstellung nicht erfasst werden können, wohl aber mit der Sektorstreifen-Methode von Dörge. [br]Dies dürfte aber eher für Analysis-Vorlesungen als für die Sekundarstufe II ein Thema sein.[br][br]Kirsch schließt mit den Worten: "Durch bloße [i]Beobachtung[/i] sukzessiver Ausschnittsvergrößerungen kann hier niemals die Frage der Differenzierbarkeit bei x = 0 entschieden, also nicht erkannt werden, dass die Funktion tatsächlich nicht differenzierbar ist. Dies macht ganz allgemein deutlich, dass eine rein "experimentelle" Auffassung des Funktionenmikroskops unzulänglich bleiben muss: Die Beobachtungen können wohl angemessene [i]Vorstellungen[/i] vom Begriff der Differenzierbarkeit vermitteln und begriffliche Präzisierungen provozieren, aber sie können niemals eine exakte [i]Definition[/i] ersetzen".
Der Integrator
Die Funktionenlupe ist eine Lernumgebung für einen anschaulichen und kalkülfreien Einstieg in die Differenzialrechnung, sie zielt auf den Aufbau von Verständnis und Grundvorstellungen.[br]Eine ähnlich ausgerichtete Lernumgebung für die Integralrechnung ist der Integratior.[br][br]Siehe [url=http://www.integrator-online.de]INTEGRATOR-online.de[/url] und GeoGebra-Book [url=https://www.geogebra.org/m/gfFc49CN][b]Der Integrator[/b][/url].
[size=200]elschenbroich@funktionenlupe.de[/size]