Analysis II
Begleitmaterial zur Vorlesung Analysis II
Table of Contents
- Folgen und Reihen von Funktionen
- Punktweise Konvergenz
- Vertauschung von Grenzwerten
- Gleichmäßige Konvergenz
- Metrische Räume
- Metriken in R² und R³
- Separat stetige Funktionen
- Fixpunktsatz
- Potenzreihen
- Beispiel 1: Konvergenzradius von Potenzreihen
- Beispiel 2: Konvergenzradius von Potenzreihen
- Beispiel 3: Konvergenzradius von Potenzreihen
- Beispiel 4: Konvergenzradius von Potenzreihen
- Differentialrechnung multivariater Funktionen
- Graph einer Funktion in zwei Variablen
- Höhenlinien (Niveaulinien)
- Archimedische Spirale
- Funktion in Parameterdarstellung
- Spirallinie - 3D
- Offene Menge im IR²
- Vektorfeld im R²
- Vektorfeld im R³
- Grenzwert einer Funktion in zwei Variablen
- Differenzierbarkeit und Stetigkeit
- Partielle Ableitungen
- Gradient
- Tangentialebene an eine Fläche
- Tangentialebene an eine Fläche (Animation)
- Richtungsableitung und ihre Definition
- Richtungsableitung und ihre Definition: Beliebige Funktion
- Richtungsableitung
- Richtung des steilsten Anstiegs
- Weg in Richtung der größten Steigung
- Totales Differential
- Rotierende Stange
- Satz von Taylor
- Lokale Extrema
- Gradientenfeld mit Niveaulinie
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung im R³
- Local Extrema
- Regressionsgerade
- Satz von Maximum und Minimum - Beispiel
- Extremwerte mit Nebenbedingungen - Lagrange-Formalismus
- Lagrange-Formalismus 1
- Balken mit maximaler Querschnittsfläche
- Lagrange-Formalismus: Beispiel
- Lagrange-Formalismus: Beispiel 2
- Integralrechnung multivariater Funktionen
- Verschiedene Wege - dieselbe Kurve
- Kurven in Polarkoordinatendarstellung
- Eigenschaften von Kurven
- Berechnung der Länge einer Kurve
- Länge einer Kurve
- Länge einer Kurve in 3D
- Wendeltreppe: Theorie und AR
- Kurve auf Bogenlängenparmeter bezogen
- Kurvenintegral für ein Skalarfeld
- Kurvenintegral 1. Art im R³
- Kurvenintegral 2. Art im R²
- Beispiel: Kurvenintegral 2. Art
- Mehrdimensionales Integral
- Satz von Fubini - 1
- Satz von Fubini - 2
- Volumen eines Körpers
- Satz von Fubini für allgemeine Jordan-messbare Mengen
- Integration über Normalbereiche
- Cavalieri-Prinzip
- Volumen einer Pyramide
- Flächeninhalt einer parametrisierten Fläche
- Ergänzungen zu den Übungen
- Heiße Herdplatte
- Tangentialebene für implizite Funktionen
- Kegel mit eingeschriebenem Zylinder
- Denkmal
- Aufgabe: Doppelintegral
- Volumen eines Zylinderschnitts
Punktweise Konvergenz
Sei D eine beliebige Menge und sei [math]\left(f_n\right)_{n \in \mathbf{N}}[/math] eine Folge von Funktionen [math]f_n: D \rightarrow \mathbf{C}[/math]. [br]Die Folge [math]\left(f_n \right)[/math] heißt [b]punktweise konvergent[/b] gegen die Funktion [math]f: D \rightarrow \mathbf{C}[/math], wenn für jedes [math]x \in D[/math] der Grenzwert [math]\lim_{x \rightarrow \infty} f_{n}(x)[/math] existiert.[br]In diesem Fall heißt [math]f: D \rightarrow \mathbf{C}[/math] der [b][b]punktweise[/b] Grenzwert[/b] der Funktionenfolge [math]\left( f_n \right)[/math] und wir schreiben [math]f_n \xrightarrow{{pw}}f[/math].[br][br][i]Beispiel[br][/i]Die Funktionenfolge [math]f_{n}(x) = x^{n}[/math] ist auf [math]D = [0; 1][/math] punktweise konvergent gegen die Funktion [math]f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{ für x = 1} \\ 0 & \mbox{ für 0 \leq x < 1 \end{array} \right.[/math][i][br][br]Formale Schreibweise[/i][math]f_n \xrightarrow{{pw}}f\quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon > 0 \: \forall x \in D \: \exists n_0 \in \mathbb{N} \: \forall n \in \mathbb{N}: \: n \geqslant n_0 \quad \Rightarrow \quad \left| {f_n (x) - f(x)} \right| < \varepsilon [/math][size=85][br](vgl. Hinrichs, A.: Analysis 2, Vorlesungsnotizen, Sommersemester 2016, Johannes Kepler Universität Linz)[br][br][/size][b]Aufgabe[br][/b]Versuche den Gedanken der punktweisen Konvergenz schrittweise nachzuvollziehen:[br]Für jedes beliebige ε (d. h. für alle ε) und für alle möglichen Stellen x gibt es einen Wert [math]n_0[/math], ab dem für alle größeren Werte von n die Funktionswerte [math]f_n(x)[/math] in dem ε-Streifen liegen.[br][i]Schieberegler für ε → Stelle x verschieben → Schieberegler n[/i]
Metriken in R² und R³
[b]Definition[/b][br][i]Sei X eine nichtleere Menge. [br]Eine Funktion d: [/i][math]X \times X \rightarrow \mathbf{R}[/math][i] heißt [b]Metrik [/b]oder [b]Abstand [/b]auf X, wenn gilt:[br](1) Positive Definitheit: [/i][math]d(x,y)\ge 0[/math][i] für alle [/i][math]x,y \in X[/math][i] und [/i][math]d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y[/math][i][br](2) Symmetrie: [/i][math]d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)[/math][i][br](3) Dreiecksungleichung: [/i][math]d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)[/math][i] für alle [/i][math]x,y,z \in X[/math][i][br][br]Man nennt [b](X,d)[/b] einen [b]metrischen Raum[/b].[/i][br]
Auf einer Menge X gibt es verschiedene Metriken. Einige der wichtigsten sind:[br][list][*]Betragsmetrik: [math]d(x,y) = \sum_{i=1}^{n}{\left| x_i - y_i \right|}[/math][/*][*]Euklidische Metrik: [math]d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}{\left( x_i - y_i \right)^2} }[/math] [/*][*]Maximumsmetrik: [math]d(x,y) = \max \{ \left| x_i - y_i \right| | i \in \{1,2, ..., n \} \} [/math][/*][/list][br][i]Hinweis: x und y sind in dieser Notation Elemente der Menge X und nicht Koordinaten enes Punktes. Die Koordinaten werden mit x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub] usw. bezeichnet.[/i][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Bewege den [color=#0000ff][b]Punkt P[/b][/color] und beobachte den Abstand des Punktes P von O(0,0).[br][br]Die dargestellten Figuren bzw. Körper sind die [b]Einheitskreise [/b]bzw. [b]Einheitskugeln [/b]im [math]\mathbb{R}^2[/math] bzw. [math]\mathbb{R}^3[/math] bezüglich der verwendeten Metrik.
Beispiel 1: Konvergenzradius von Potenzreihen
Gegeben ist die Potenzreihe [math]\sum_{k=0}^{\infty}x^k=1+x+x^2+x^3+...[/math].[br]Der Konvergenzradius R dieser Reihe ist 1, d. h. für Werte zwischen -1 und +1, also für [math]\left|x\right|<1[/math], konvergiert die Reihe und es gilt:[br][center][math]\sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x}[/math].[/center][br][b]Aufgabe[/b][br]Erhöhe den Grad n, bis zu dem die Partialsumme der Potenzreihe dargestellt wird, und beobachte die Annäherung innerhalb des Konvergenzradius an die Funktion [math]f:\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}\to\mathbb{R};f\left(x\right)=\frac{1}{1-x}[/math].
Graph einer Funktion in zwei Variablen
Das Applet zeigt den [b]Graph [/b]einer[b] Funktion f in zwei Variablen[/b]:[br][math]f:D\left(\subset\mathbb{R}^2\right)\longrightarrow\mathbb{R}; (x,y) \mapsto f\left(x,y\right)[/math][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verschiebe den [b][color=#0000ff]Punkt A'[/color][/b] und lies seine Koordinaten in der Tabelle ab.[br]Gib eine andere Funktion f ein und untersuche ihren Graphen.[br][br][i]Hinweis:[/i] Mögliche andere Funktionen sind [br]f(x,y) = sin(x+y)[br]f(x,y) = e^-(x^2 + y^2)[br]f(x,y) = x y
Verschiedene Wege - dieselbe Kurve
Verschiedene Wege (Parameterdarstellungen) können zur selben Kurve führen.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Zeige die beiden Wege γ[sub]1[/sub] und γ[sub]2[/sub] an und spiel die Animation ab.[br]Beachte, dass die beiden Punkte P[sub]1[/sub] und P[sub]2[/sub] die Kurve nicht mit der gleichen Geschwindigkeit durchlaufen.[br]Im ersten Fall stellt der [b][color=#b45f06]Parameter t[/color][/b] den [b][color=#b45f06]Winkel[/color][/b] dar, der linear zunimmt, und im zweiten Fall stellt der [b][color=#0000ff]Parameter s[/color][/b] einen Wert dar, der auf der [b][color=#0000ff]x-Achse[/color][/b] angezeigt wird.
Heiße Herdplatte
Die Temperatur einer erwärmten kreisförmigen Platte mit Mittelpunkt (0, 0) ist in jedem Punkt (x, y) durch [math]T\left(x,y\right)=\frac{5}{x^2+y^2+1}[/math] (in Einheiten von 100°C) bestimmt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Untersuchen Sie die Änderungsrate der Temperatur im [b][color=#0000ff]Punkt Q[/color][/b] in Richtung des (normierten) [b][color=#0000ff]Vektors r[/color][/b].[br]Wie verändert sich der Gradient in einem Punkt, der sich auf einem Kreis um den Mittelpunkt (0, 0) bewegt?