A) diverge, tanto uniformemente quanto pontualmente.[br][br]B) converge pontualmente para a função [math]f(x)=x^3[/math], mas não converge uniformemente.[br][br]C) converge pontualmente para a função [math]f(x)=0[/math], mas não converge uniformemente.[br][br]D) converge pontual e uniformemente para a função [math]f(x)=x^3[/math].[br][br]E) converge pontual e uniformemente para a função [math]f(x)=0[/math][math]f(x)=0[/math][math]f(x)=0[/math].
Visite as seções sobre convergência simples (pontual) e uniforme das sequências de funções, lá você vai rever estes dois conceitos.[br][br]Para verificar convergência pontual, independente do valor de [math]x_0[/math] que você escolher, você deve observar qual o comportamento do ponto P. Se você observar que o ponto P converge então a sequência de funções converge pontualmente para o [math]x_0[/math] associado.[br][br]Por exemplo, se você escolher [math]x_0=3[/math] e fizer o valor de [math]n[/math] crescer verá que a segunda coordenada de P converge para zero. Ou seja, em a sequência de funções converge pontualmente para zero em [math]a_0=3[/math].[br][br]Faça isso para vários valores de [math]x_0[/math] até ter certeza do comportamento da sequência de funções.[br][br]Já para verificar a convergência uniforme, para qualquer valor de [math]\varepsilon>0[/math] que você escolher, os termos terão que estar na faixa [math]\left(f\left(x\right)-\varepsilon,f\left(x\right)+\varepsilon\right)[/math], onde [math]f[/math] é a função limite.
A) I, apenas.[br][br]B) II, apenas.[br][br]C) I e II, apenas.[br][br]D) I e III, apenas.[br][br]E) I, II e III.
A ideia para determinar se a convergência pontual ou uniforme ocorre é idêntica à da questão anterior.[br][br]Para verificar as descontinuidades de funções que são quociente de outras duas funções contínuas, basta observar quando o denominador se anula. Por exemplo, se tivermos funções [math]g\left(x\right)[/math] e [math]h\left(x\right)[/math], ambas contínuas, a função [math]f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}[/math] só será descontínuas nos valores de [math]x[/math] para os quais [math]h\left(x\right)=0[/math].
[br][br]A) Raio de convergência: 1; intervalo de convergência: (-1,1).[br][br]B) Raio de convergência: -1; intervalo de convergência: (-1,1).[br][br]C) Raio de convergência: 1; intervalo de convergência: (0,2).[br][br]D) Raio de convergência: 1; intervalo de convergência: (0,1).[br][br]E) Raio de convergência: 2; intervalo de convergência: (-1,1).[br]
Para verificar se um valor [math]a[/math] está dentro do intervalo de convergência basta que você escolha este valor e faça [math]n[/math] crescer (tender ao infinito). Se, quando [math]n\rightarrow\infty[/math], a soma parcial (em vermelho) convergir para um valor fixo isso significa que o seu valor de [math]a[/math] está dentro do intervalo de convergência. Caso a soma parcial comece a crescer ou decrescer muito isso significa que você pegou um valor de [math]a[/math] que está fora do intervalo de convergência. Fazendo esse processo de observação você logo consegue verificar quais os valores máximos e mínimos que você pode escolher para [math]a[/math] de forma que a soma em vermelho ainda seja convergente.[br][br]Outra forma de observar qual é o intervalo de convergência é observar a função do termo geral da série, pelo seu aspecto é bem óbvio ver qual o intervalo de convergência.[br][br]Uma dica bacana é assistir os vídeos da seção sobre Séries de Potências (Seção 2.3) deste e-book.
A) k=-1 e k=1.[br][br]B) k=-2 e k=2.[br][br]C) k=-3 e k=3.[br][br]D) k=-4 e k=4.[br][br]E) k=-5 e k=5.
Para resolver esta questão é razoavelmente simples, observe o comportamento da função do termo geral da série. Mude o valor de [math]k[/math] e verá que o intervalo de convergência é bem claro, assim como na questão anterior e aumente o valor de [math]n[/math] para perceber mais claramente.[br][br]Podes resolver algebricamente para confirmar sua intuição.
A) I.[br][br]B) II.[br][br]C) III.[br][br]D) IV.[br][br]E) Nenhuma das alternativas.[br]
Se a função [math]f\left(x\right)=e^x[/math] admite expansão em série de potências em torno de 2, então temos certeza da seguinte igualdade:[br][br][math]e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(2\right)\left(x-2\right)^n}{n!},\forall x\in\mathbb{R}[/math][br][br]Basta que você saiba calcular a derivada n-ésima da função exponencial (é bem fácil, mas caso não lembre busque no seu livro de cálculo I).[br][br]Essa expansão é impressionante pois nos diz que ao invés de calcular o valor de [math]f\left(x\right)[/math] eu posso simplesmente calcular a soma da série. As vezes nem é necessário saber o valor exato, muitas vezes o valor aproximado já é muito perto do valor exato. Portanto a dica, para o caso de você não querer calcular a derivada n-ésima e substituir na fórmula acima, é comparar o valor da função no gráfico da esquerda com os valores das somas parciais da direita e você descobrirá qual realmente aproxima os valores da função exponencial.[br][br]Lembre-se de algo importante, na prova você não vai poder contar com o auxílio do GeoGebra, então precisa saber resolver analiticamente.
