M - Zlatý řez
[url]https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio[/url] [url]https://en.wikipedia.org/wiki/Metallic_mean[/url]
Table of Contents
- Nástroje pro zlatořezné konstrukce (ggt)
- Nástroje pro zlatořezné konstrukce (ggt)
- Základní konstrukce zlatého řezu
- Základní konstrukce zlatého řezu - trojúhelníková
- Základní konstrukce zlatého řezu - čtvercová
- Základní konstrukce - Příklad
- Zlatý trojúhelník, gnómon, rovnoběžník, obdélník a tak dále
- Zlatý trojúhelník a zlatý gnómon
- Zlatý rovnoběžník a zlatý doplněk
- Fibonacciho čtverce
- Fibonacciho a zlatá posloupnost
- Logaritmická spirála ve zlatém trojúhelníku
- Logaritmická spirála
- Logaritmická spirála ve zlatém trojúhelníku
- Nalezení pólu spirály ve zlatém trojúhelníku (metoda 1 - kružnice ):
- Nalezení pólu spirály ve zlatém trojúhelníku (metoda 2 - těžnice ):
- Shrnutí kap. 4.2 a 4.3 - zlatý rovnoběžník a log. spirála
- Nalezení rovnice spirály opsané zlatému trojúhelníku
- Nástroje (ggt) pro opsání spirály zlatému trojúhelníku
- Tajemství pentagonu!
- Magor-fantastická posloupnost úhlů v PENTAGONU!
- Magor-fantasická posloupnost úhlů v PENTAGONU podruhé!
- Konstrukce pravidelného pětiúhelníku
- Dána strana - přirozená konstrukce
- Dána kružnice opsaná - přirozená konstrukce
- Dána kružnice opsaná - Ptolemaiova konstrukce
- Dána kružnice opsaná - Olbřímí konstrukce
- Logaritmická spirála v pentagonu a pentagramu
- Spirály v pentagramu
- Spirály v pentagramu 2
- Příklady
- Zlatý řez a rovnostranný trojúhelník
- Zlatořezná mandala
- Cykloida a zlatý řez
- Příklad - Zlatořezná tečna hyperboly
Nástroje pro zlatořezné konstrukce (ggt)
Základní konstrukce zlatého řezu - trojúhelníková
|
|
Zlatý trojúhelník a zlatý gnómon
Definice:
[b]Zlatý trojúhelník[/b] je [i]rovnoramenný[/i] trojúhelník, pro který platí, že poměr délky [i]ramene[/i] a [i]základny[/i] je [b]zlatý[/b].[br][b]Zlatý gnómon[/b] je [i]rovnoramenný[/i] trojúhelník, pro který platí, že poměr délky [i]základny[/i] a [i]ramene[/i] je [b]zlatý[/b].
Zlatý trojúhelník je tedy [i]ostroúhlý[/i] a zlatý gnómon je [i]tupoúhlý[/i]:
Nemáš tak trochu pocit, že jakoby tak nějak úhel u [math]C_1[/math] je roven úhlu u [math]C_2[/math]? To by znamenalo, že se menší [math]T_{os}[/math] vejde pěkně do většího [math]T_{tu}[/math] takto:
Tak se na to juknem:
Závěr 1 - rozseknutí:
Závěr 2 - úhly ve zlatém trojúhelníku a zlatém gnómonu:
Závěr 3 - trisekce úhlu 108 stupňů:
Rozseknutím zlatého gnómonu v Závěru 1 jsme vlastně provedli jednoduchou eukleidovskou konstrukci trisekce úhlu o velikosti [math]108^{\circ}[/math]:
Logaritmická spirála
Levotočivá, a = 2, epsilon = 90°:
Poloměr spirály při rotaci červené polopřímky v [b]kladném[/b] smyslu ([b]proti[/b] směru HR - tedy [b]doleva[/b]), [b]roste [/b](páč je [url=https://www.geogebra.org/material/simple/id/76533#material/958107]logaritmická[/url], tak exponenciálně). Taková spirála se nazývá [b]LEVOTOČIVÁ[/b] . [br][br]Přitom u spirály v tomto apletu se poloměr zvětší [b]dvakrát[/b] při otočení o [b]90°, [/b]tedy 16 krát při otočení o 360°. Říkáme, že [b]faktor růstu[/b] této spirály je [b]16 [/b](faktor růstu říká, kolikrát se zvětší poloměr při jedné otočce).[br][br]Začneme-li s úhlem [math]\alpha=0^{\circ}[/math] a poloměrem[math]r_0=1[/math] (viz bod A), vzniká při otočení o [b]celé kladné[/b] násobky 90° geometrická posloupnost poloměrů 1, 2, 4, 8, 16, ... (viz body B,C,D,E) a při otočení o celé záporné násobky 90° vzniká geometrická posloupnost poloměrů [math]1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16}...[/math][br][br]Při kladné rotaci se tedy LEVOTOČIVÁ spirála rozvíjí a její poloměr roste do nekonečna a při záporné rotaci se zavíjí a její poloměr klesá limitně k nule. Bod spirály se limitně blíží k bodu Y, který se nazývá pól spirály (zde je v počátku SS).[br][br]Rovnice logaritmické spirály je obecně [math]r=r_0\cdot a^{\frac{\alpha}{\epsilon}}[/math] a zde je [math]r_0=1[/math] [math]a=2[/math] a [math]\epsilon=90^{\circ}[/math]
Pravotočivá, a = 2, epsilon = 90°:
Levotočivá, a = 2, epsilon = 180°:
Různé způsoby zadání téže spirály v GeoGebře:
Spirála s volitelnými parametry
Důležité jsou případy [math]a=\varphi[/math] a [math]a=\frac{1}{\varphi}[/math] a úhly [math]\epsilon=90^{\circ}[/math] a [math]\epsilon=108^{\circ}[/math]