Théorème de Pythagore
Exposé dynamique de [b]démonstrations du Théorème de Pythagore[/b] et de sa réciproque. Exemples d'utilisation et [b]vérificateur d'exercices[/b] d'application directe du Théorème de Pythagore ou de sa réciproque. Mise à jour du 14/12/2021 : Ajout d'une démonstration et amélioration du vérificateur d'exercices qui affiche maintenant les valeurs exactes des longueurs des côtés calculées.
Table of Contents
- Introduction
- Introduction
- Démonstrations
- Démonstration
- Enoncé et usage
- Puzzle d'Airy
- Puzzle chinois
- Démonstration d'Euclide
- Démonstration de Bhaskara
- Contraposée
- Enoncé et usage
- Réciproque
- Introduction
- Démonstration
- Enoncé et usage
- Conclusion
- Conclusion
- Vérificateur d'exercices
- Pythagore : Vérificateur d'exercices
- Compléments
- Construction racines carrées
- Spirale de Théodore
Introduction
Il s'agit de trouver une relation entre les [b]longueurs[/b] des différents cotés d'un [b]triangle rectangle[/b].
Aucune relation apparente entre les longueurs [math]AB[/math],[math]AC[/math] et [math]BC[/math], si ce n'est que le coté le plus long est toujours l'hypothénuse, ici [math][AC][/math], le coté opposé à l'angle droit.[br][br]Par contre si nous calculons les carrés des longueurs, [math]AB^2[/math],[math]AC^2[/math] et [math]BC^2[/math], nous pouvons conjecturer que :[br][br][math]AB^2+BC^2=AC^2[/math][br][br]La découverte et la démonstration de cette propriété des triangles rectangles est attribuée à [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Pythagore]Pythagore[/url], philosophe et mathématicien de la Grèce Antique.
Démonstration
Nous avons pu conjecturer (voir introduction), que dans un triangle [math]ABC[/math] rectangle en [math]A[/math] nous avons :[br][br][math]AB^2+AC^2=BC^2[/math][br][br]Cela signifie que si nous construisons un carré de coté [math]\left[AB\right][/math] et un carré de coté [math]\left[AC\right][/math] nous aurons la somme de leurs aire égale à l'aire d'un carré de coté [math]\left[BC\right][/math].[br][br]De nombreuses démonstrations du théorème de Pythagore on été proposées.[br][br]La démonstration présentée ici est purement géométrique.[br][br]Construisons donc les carrés [math]ACFG[/math] et [math]ABIH[/math] extérieurs au triangle [math]ABC[/math], ainsi que le carré [math]BCDE[/math] qui inclut le triangle [math]ABC[/math].[br][br]On nomme [math]N[/math] le point d'intersection des droites [math](FG)[/math] et [math](HI)[/math].
Par hypothèse, nous avons [math]\left(CF\right)\perp\left(CA\right)[/math] et [math]\left(CB\right)\perp\left(CD\right[/math], donc [math]\widehat{FCD}=\widehat{ACB}[/math] .[br][br]Or [math]FC=AC[/math] et [math]CB=CD[/math], les triangles [math]ABC[/math] et [math]FCD[/math] sont donc semblables et [math]FCD[/math] est rectangle en [math]F[/math].[br][br]Les points [math]F[/math], [math]G[/math], [math]D[/math] et [math]N[/math] sont donc alignés et [math]DN=AC[/math]. En effet, [math]FCHN[/math] est un rectangle et [math]FN=AC+AB[/math].[br][br]Nous pouvons prouver de la même manière que les points [math]I[/math], [math]E[/math], [math]H[/math] et [math]N[/math] sont alignés et que [math]EN=AB[/math].[br][br]Le triangle [math]NED[/math] est donc rectangle en [math]N[/math] et semblable au triangle [math]ABC[/math].
L'aire d'un parallélogramme ne dépend que de la longueur d'un de ses cotés et de la hauteur associée (voir [url=https://tube.geogebra.org/student/b1633587#material/1632351]Aires des figures usuelles[/url]).[br][br]Ainsi, si nous construisons un parallélogramme [math]ACKL[/math] avec [math]K\in(FG)[/math], nous aurons :[br][math]Aire(ACKL)=Aire(ACFG)=AC^2[/math][br][br]De même, si nous construisons un parallélogramme [math]ABJM[/math] avec [math]J\in(IH)[/math], nous aurons :[br][math]Aire(ABJM)=Aire(ABIH)=AB^2[/math]
Observons ce qui se passe si les points [math]K[/math] et [math]D[/math] sont confondus et que les points [math]J[/math] et [math]E[/math] sont confondus :[br][br]Les points [math]L[/math], [math]M[/math] et [math]N[/math] sont confondus et [math]ACDNEB[/math] forment un hexagone dont nous connaissons l'aire :[br][math]Aire\left(ACDNEB\right)=Aire\left(ACFG\right)+Aire\left(ABIH\right)[/math][br][br]Nous avons donc :[br][math]Aire\left(ACDNEB\right)=AB^2+AC^2[/math]
D'autre part nous avons :[br][br][math]Aire\left(ACDNEB\right)=Aire\left(EDN\right)+Aire\left(ABED\right)-Aire\left(ABC\right)[/math][br][br]Or, les triangles [math]NED[/math] et [math]ABC[/math] sont semblables, [math]Aire\left(EDN\right)=Aire\left(ABC\right)[/math][br][br]Nous avons donc [math]Aire\left(ACDNEB\right)=Aire\left(ABC\right)+Aire\left(ABED\right)-Aire\left(ABC\right)[/math][br][br]Soit [math]Aire\left(ACDNEB\right)=Aire\left(ABED\right)=BC^2[/math][br][br]Or [math]Aire\left(ACDNEB\right)=AB^2+AC^2[/math][br][br]Nous avons donc, finalement :[br][br][math]AB^2+AC^2=BC^2[/math][br][br]Le théorème de Pythagore est ainsi démontré.[br][br]
Enoncé et usage
Enoncé
L'énoncé du Théorème de Pythagore :[br][quote][br]Soit [math]ABC[/math] un triangle[br]Si [math]ABC[/math] est un triangle rectangle en [math]A[/math], alors [math]AB^2+AC^2=BC^2[/math][/quote][br]Est logiquement équivalent à :[br][quote][br]Soit [math]ABC[/math] un triangle[br]Si [math]AB^2+AC^2\neq BC^2[/math], alors [math]ABC[/math] n'est pas un triangle rectangle en [math]A[/math][/quote]
Usage
La contraposée du Théorème de Pythagore permet de vérifier, en mesurant les longueurs des cotés d'un triangle, qu'il n'est pas rectangle.[br][br]Exemple : Prouver qu'un triangle équilatéral n'est pas un triangle rectangle[br][br]Soit un triangle équilatéral de longueur de cotés [math]a[/math].[br][br][math]a^2+a^2=2\times a^2\ne a^2[/math][br][br]Un triangle équilatéral n'est donc pas un triangle rectangle.
Introduction
La réciproque du Théorème de Pythagore nous dit que si [math]ABC[/math] est un triangle tel que [math]AB^2+AC^2=BC^2[/math], alors ce triangle est rectangle en [math]A[/math].
Conclusion
Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle
Le Théorème de Pythagore sert à calculer la longueur du troisième côté d'un triangle rectangle dont on connait les longueurs de deux cotés.[br][br]Si nous ne connaissons pas la longueur de l'hypoténuse :
Si nous ne connaissons pas la longueur d'un des cotés adjacents à l'angle droit :
Vérifier si un triangle est un triangle rectangle
La contraposée et la réciproque du Théorème de Pythagore nous permettent de déterminer si un triangle dont nous connaissons les longueurs des cotés est un triangle rectangle :[br][br][quote][math]ABC[/math] est in triangle rectangle en [math]A[/math][/quote]Est équivalent à[quote][math]AB^2+AC^2=BC^2[/math][/quote]
[size=85]Saisir une longueur sous forme de racine carrée est possible :[br]par exemple pour saisir [math]\sqrt{(}3)[/math] taper sqrt(3)[/size]
Pythagore : Vérificateur d'exercices
Mode d'emploi
[size=150][b]Calcul de la longueur manquante d'un triangle rectangle[/b][br][/size][size=100]AB et AC désignent les longueurs des côtés de l'angle droit, BC de l'hypoténuse :[br][list=1][*]Si tu cherches l'hypoténuse, renseigne AB et AC et laisse un "?" dans BC.[br][/*][*]Si tu cherches un coté de l'angle droit, renseigne BC et AB (ou AC). Laisse "?" dans AC (ou AB).[/*][/list][b][size=150]Vérification si un triangle est rectangle ou non[/size][br][/b]Renseigne simplement les longueurs des 3 cotés du triangle.[/size]