[right][color=#ff0000][i][b]Sorry, sehr lange Ladezeiten![/b][/i][/color][/right]

Die [i][b]Rotationen[/b][/i] um die Achse eines [b][color=#20124D]Torus[/color][/b] und die [i][b]Rotationen längs der "kleinen Kreise"[/b][/i][size=85] (das sind die Schnitte der Ebenen durch die Achse mit dem Torus)[/size] sind vertauschbar, sie erzeugen also eine kommutative Bewegungsgruppe des [b][color=#20124D]Torus[/color][/b]. Modulo [math]2\cdot \pi[/math] verhält sich diese Gruppe wie die Translationen der Ebene, bzw. wie die Vektor-Addition in der Ebene. Es ist daher kein Wunder, dass das abgebildete ebene Gitter auf dem [b][color=#20124D]Torus[/color][/b] ebenfalls ein Kurven-Netz erzeugt. Geht das Gitter in der Ebene wesentlich über [math]2\pi[/math] hinaus, so überschneiden sich die Kurven auf dem [b][color=#20124D]Torus[/color][/b]. [br]Die 4 Parallelen-Scharen in der Ebene und ihre Bilder auf dem Torus bilden ein [b]Sechseck-Netz[/b] mit Diagonalen: je drei der Kurvenscharen bilden ein Sechsecknetz, die 4. Kurvenschar ist jeweils diagonal.[br][br]Ist das Parallelogramm in der Ebene ein Rechteck [math]2\pi\cdot2\pi[/math], so sind bei einem geeigneten Verhältnis von [b]r[/b] und [b]R[/b] sowie von [b]m[/b] und [b]n[/b] die Kurven aller 4 Kurvenscharen Kreise: es sind dies die "Längskreise", die "kleinen Kreise" sowie die [i][b]VILLARCEAU[/b][/i]-Kreise. [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Torus]Formeln zum Torus: wikipedia[/url][br][br]Die Parametrisierung des Torus und der Kurven findet man auf dem Arbeitsblatt [url=https://www.geogebra.org/m/t2AK38fe]torus and curve[/url] von Mathieu Blossier.[br][br][size=50]Von [i][b]Sechseck-Netzen[/b][/i] handelt unser GeoGebra-book [url=https://www.geogebra.org/m/z8SGNzgV]Sechsecknetze[/url].[/size]