IL PROBLEMA DEI VOLUMI

[size=150][color=#0000ff]1) Nel disegno sono raffigurati un triangolo ABC di area[/color][/size]

[size=150][color=#0000ff]e un quadrato DEFG di area[/color][/size]

[size=150][color=#0000ff]2) Apri la vista [b]GRAFICI 3D[/b], chiudi la vista GRAFICI e segui le istruzioni:[br][br][table][tr][td][color=#444444][/color][center][color=#444444][/color][color=#ff0000]ISTRUZIONI[/color][/center][color=#ff0000][/color][/td][td][center][color=#ff0000][/color][/center][color=#ff0000]STRUMENTO[br][/color][color=#ff0000][br][/color][color=#ff0000][/color][/td][td][color=#ff0000][/color][/td][/tr][tr][td][color=#444444]Sull'asse z (che è colorato in blu) disegna il punto P di coordinata 4[/color][/td][td][color=#444444]Punto [/color][/td][td][color=#444444][icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon][/color][/td][/tr][tr][td][color=#444444]Disegna la retta r passante per P e parallela all'asse x (che è colorato in rosso)[/color][/td][td][color=#444444]Retta parallela[/color][/td][td][color=#444444][icon]/images/ggb/toolbar/mode_parallel.png[/icon][/color][/td][/tr][tr][td][color=#444444]Prendi un punto V e un punto U sulla retta r.[/color][/td][td][color=#444444]Punto[/color][/td][td][color=#444444][icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon][/color][/td][/tr][tr][td][color=#444444]Disegna la piramide avente come base il triangolo ABC e come vertice V e la piramide avente come base il quadrato DEFG e come vertice U.[/color][/td][td][color=#444444]Piramide[/color][/td][td][color=#444444][icon]/images/ggb/toolbar/mode_pyramid.png[/icon][/color][/td][/tr][/table][br][br][br][/color][/size]

[size=150][color=#0000ff]3) Le due piramidi hanno la stessa area di base e la stessa altezza, che è data dalla distanza tra il piano xy e il punto[/color][/size]

[size=150][color=#0000ff]4) Nascondi la retta r e il punto P e segui le istruzioni:[/color][/size][br][size=150][br][table][tr][td][center][color=#ff0000]ISTRUZIONI[/color][/center][/td][td][center][color=#ff0000]STRUMENTO[/color][/center][/td][td][/td][/tr][tr][td]Sull'asse z disegna il punto Q di coordinata 1,5[/td][td]Punto[/td][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon][/td][/tr][tr][td]Disegna il piano k passante per Q e parallelo al piano xy.[br]Nascondi gli assi cartesiani e il punto Q[/td][td]Piano parallelo[/td][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_parallelplane.png[/icon][/td][/tr][tr][td]Interseca il piano k con ciascuna delle facce laterali delle due piramidi e indica i punti di intersezione con A', B', C', D', E', F'[/td][td]Interseca due superfici[/td][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersectioncurve.png[/icon][/td][/tr][tr][td]Disegna il triangolo A'B'C' e il quadrilatero D'E'F'G'[/td][td]Poligono[/td][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_polygon.png[/icon][/td][/tr][/table][/size]

[size=150][color=#0000ff]5) Per le proprietà delle piramidi il triangolo ABC e il triangolo A'B'C' sono[/color][/size]

[size=150][color=#0000ff]Analogamente: il quadrato DEFG e il quadrilatero D'E'F'G' sono[/color][/size]

[size=150][color=#0000ff]6) Segui le istruzioni:[br][br][table][tr][td][center][color=#ff0000]ISTRUZIONI[/color][/center][/td][td][color=#ff0000][/color][center][color=#ff0000]STRUMENTO[/color][/center][/td][td][/td][/tr][tr][td][color=#000000]Disegna la retta s perpendicolare al piano xy passante per V e la retta t perpendicolare al piano xy passante per U[/color][/td][td][color=#000000]Retta perpendicolare[/color][/td][td][color=#000000][icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonalthreed.png[/icon][/color][/td][/tr][tr][td][color=#000000]Trova le intersezioni H, H' della retta s rispettivamente con il piano xy e[br]con il piano k e le intersezioni K, K' della retta t con il piano xy e con il[br]piano k.[br]Nascondi le rette s, t[/color][/td][td][color=#000000]Intersezione[/color][/td][td][color=#000000][icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon][/color][/td][/tr][tr][td][color=#000000]Disegna il segmento VH (che passa per H') e il segmento UK (che passa per K')[/color][/td][td][color=#000000]Segmento[/color][/td][td][icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon][/td][/tr][/table][/color][/size]

[size=150][color=#0000ff]7) I segmenti VH, UK sono congruenti perchè sono le[/color][/size]

[size=150][color=#0000ff]delle due piramidi (v. punto 3)[/color][/size]

[size=150][color=#0000ff]8) I segmenti HH', KK' sono congruenti perchè uguali alla[/color][/size]

[size=150][color=#0000ff]tra il piano xy e il piano k che sono tra loro[/color][/size]

[size=150][color=#0000ff]9) I segmenti VH' e UK' risultano congruenti per[/color][/size]

[size=150][color=#0000ff]di segmenti congruenti.[/color][/size]

[size=150][color=#0000ff]10) Per le proprietà delle piramidi il rapporto tra l'area del triangolo ABC e l'area del triangolo A'B'C' è uguale a[/color][/size]

[math]\frac{VH}{VH'}[/math] [math]\frac{VH}{HH'}[/math] [math]\frac{VH^2}{VH'^2}[/math] [math]\frac{VH^2}{HH'^2}[/math]

[size=150][color=#0000ff]11) Analogamente il rapporto tra l'area di DEFG e l'area D'E'F'G' è uguale a[/color][/size]

[math]\frac{UK^2}{UK'^2}[/math] [math]\frac{UK^2}{KK'^2}[/math] [math]\frac{UK}{UK'}[/math] [math]\frac{UK}{KK'}[/math]

[size=150][color=#0000ff]12) Dalle uguaglianze 9), 10) 11) si ricava l'uguaglianza[br][math]\frac{area\left(ABC\right)}{area\left(A'B'C0\right)}=\frac{area\left(DEFG\right)}{area\left(D'E'F'G'\right)}[/math][/color][/size][br][size=150][color=#0000ff]per la proprietà[/color][/size]

simmetrica transitiva riflessiva

[size=150][color=#0000ff]13) Dall'uguaglianza tra le aree dei poligoni ABC, DEFG e dalla 12) si deduce che A'B'C' e D'E'F'G' hanno la stessa area.[br]Le sezioni delle due piramidi con un piano parallelo alla base sono quindi[/color][/size]

[size=150][color=#0000ff]14) La dimostrazione [b]non dipende dalla distanza[/b] tra il piano xy e il piano k, quindi per il [b]principio di Cavalieri[/b] le due piramidi hanno lo [b]stesso volume[/b].[br][br]Inoltre la dimostrazione [b]non dipende dalla forma[/b] dei poligoni di base nè dal [b]valore delle aree[/b] nè dal [b]valore delle altezze[/b] delle due piramidi, ma [b]solo[/b] dal fatto che le basi sono [b]poligoni equivalenti[/b] e le [b]altezze congruenti[/b].[br][br][/color][/size][size=150][color=#0000ff]Si può quindi enunciare che [/color][color=#ff0000][b]condizione sufficiente perchè due piramidi abbiano lo stesso volume è che i poligoni di base siano equivalenti e le altezze siano congruenti[/b][/color][color=#0000ff].[/color][/size]

1) Nel disegno è raffigurato un prisma triangolare retto di basi ABC, DEF.[br]Il volume del prisma è dato dal prodotto dell'area del triangolo ABC moltiplicata per

la lunghezza del segmento AD la lunghezza del segmento CD la lunghezza del segmento ED

2) Il punto D è il vertice di una piramide p[sub] [/sub](colorata in arancio) avente base ABC.[br]I punti BCFED sono i vertici di una seconda piramide p', congruente alla piramide B'C'F'E'D' raffigurata a fianco.[br]Il volume del prisma è dato

dal prodotto dei volumi delle due piramidi dall'intersezione dei volumi delle due piramidi dalla somma dei volumi delle due piramidi dall'unione dei volumi delle due piramidi

3) Il quadrilatero B'C'F'E' è un

e la diagonale B'F' lo divide in due

4) Le piramidi[br][list][*]p[sub]1[/sub], di base B'E'F' e vertice D,[br][/*][*]p[sub]2[/sub], di base B'C'F' e vertice D[br][/*][/list]hanno basi equivalenti (i triangoli B'E'F', B'C'F' sono congruenti) e altezze congruenti (uguali alla distanza del punto D dal piano delle basi), quindi - per la condizione sufficiente dimostrata - hanno uguale

superficie laterale volume forma superficie totale

5) Le piramidi[br][list][*]p, di base ABC e vertice D[/*][*]p[sub]1[/sub], considerata di base D'E'F' e vertice B'[/*][/list]hanno le basi ABC, D'E'F' congruenti in quanto basi del

e altezze AD, B'E' congruenti in quanto altezze dello stesso

6) Per la condizione sufficiente dimostrata le due piramidi p, p[sub]1[/sub] hanno quindi uguale

superficie laterale superficie totale volume

7) Come conseguenza dei punti 4) 6), i volumi delle piramidi considerate soddisfano le uguaglianze

p = p' = p[sub]1[/sub] + p[sub]2[/sub] p = p[sub]1[/sub] = p[sub]2[/sub] p' = p[sub]1[/sub] = p[sub]2[/sub]

8) Inoltre la somma dei volumi[br][center]p + p[sub]1[/sub] + p[sub]2[/sub] = 3p[/center]è uguale al volume del

9) Si conclude che il volume della piramide p è 1/3 del volume del prisma, quindi è dato da[br][math]\frac{1}{3}Area_{BASE}Altezza[/math][br][br]Per il principio di Cavalieri qualunque piramide è equivalente ad una piramide triangolare inscrivibile (come la p) in un prisma retto, quindi la regola trovata fornisce il volume di tutte le piramidi.[br][br]v. anche la [url=http://www.cutoutfoldup.com/971-the-volume-of-a-pyramid-is-one-third-that-of-a-prism.php]costruzione[/url]

[color=#444444]1) Nel disegno sono raffigurati:[br]# un cono circolare retto avente raggio di base [b]HP = r[/b] ed altezza [b]VH = r[/b][br]# un solido detto [i]scodella di Galileo[/i] dato dalla regione di spazio delimitata[br][/color][list][*][color=#444444]da un cilindro circolare retto avente raggio di base [b]AC = BG = r[/b] ed altezza [b]CG = r[/b][br][/color][/*][*][color=#444444]da una semisfera di centro G e raggio [b]GC = r[/b][/color][br][/*][/list][br]Il cono e il cilindro sono appoggiati sullo stesso piano (piano xy).

2) Un piano k, a distanza z dal piano xy, interseca il cono e la [i]scodella[/i].[br]L'intersezione tra il piano k e il cono è

un cerchio una circonferenza un punto

L'intersezione tra il piano e la [i]scodella [/i]è

una coppia di circonferenze una coppia di cerchi una circonferenza un cerchio una corona circolare

CALCOLIAMO LE AREE DELLE INTERSEZIONI TRA IL PIANO k E I DUE SOLIDI (IL CONO E LA [i]SCODELLA[/i])

3) L'intersezione tra il piano k e il con è un cerchio di centro K e raggio KQ.[br]I due triangoli VKQ e VHP sono rettangoli e tra loro

Inoltre, dato che VH = r, HP = r, il triangolo VHP è

Quindi il triangolo rettangolo VKQ è isoscele e vale l'uguaglianza KQ = VK.[br]D'altra parte VK è uguale a

r z - r r - z z

Si conclude che l'intersezione del piano k con il cono, che è un cerchio di raggio KQ, ha area

[math]a_1=2\pi\left(r-z\right)[/math] [math]a_1=\pi z^2[/math] [math]a_1=2\pi z[/math] [math]a_1=\pi r^2[/math] [math]a_1=2\pi r[/math] [math]a_1=\pi\left(r-z\right)^2[/math]

4) L'intersezione del piano k con la [i]scodella [/i]è una corona circolare, delimitata da una circonferenza esterna di raggio FD e una circonferenza interna di raggio FE.[br][br]5) Il quadrilatero FDGB è un

quindi il raggio della circonferenza esterna della corona circolare è FD = BG ed è uguale a

z r - z r z - r

6) L'ipotenusa GD del triangolo rettangolo GFD è uguale a

r - z z - r z r

Il cateto GF del triangolo rettangolo GFD è uguale a

r - z z - r z r

Il cateto FD del triangolo rettangolo GFD (e raggio della circonferenza interna che delimita la corona circolare) è dato da

[math]\sqrt{z^2+2rz}[/math] [math]\sqrt{z^2-2rz}[/math] [math]\sqrt{2r^2+z^2-2rz}[/math] [math]\sqrt{2rz-z^2}[/math]

7) L'area della corona circolare risulta quindi uguale a

[math]a_2=\pi r^2[/math] [math]a_2=\pi\left(r-z\right)^2[/math] [math]a_2=\pi\left(r+z\right)^2[/math] [math]a_2=\pi z^2[/math]

8) Le due aree a[sub]1[/sub] e a[sub]2[/sub] sono quindi

e dato che questo risultato non dipende dal valore di z, è possibile affermare che le intersezioni del cono e della [i]scodella [/i]con un qualunque piano parallelo al piano xy hanno uguale

quindi, per il principio di Cavalieri, i due solidi (cono e [i]scodella[/i]) hanno uguale

9) Il volume V di una sfera di raggio r è doppio del volume della semisfera, uguale alla differenza tra il volume del cilindro e il volume della [i]scodella[/i], quindi alla differenza tra il volume V' del cilindro e il volume V" del cono (equivalente alla [i]scodella[/i]): V = 2(V' + V").[br][br]10) Il volume del cilindro, che può essere considerato un prisma a base circolare) è dato da

[math]V'=2\pi rz[/math] [math]V'=\pi r^2z[/math] [math]V'=2\pi r^3[/math] [math]V'=\pi r^3[/math]

11) Il volume del cono (considerato una piramide a base circolare) è dato da

V" = [math]2\pi r^3[/math] V" = [math]\frac{1}{3}\pi r^3[/math] V" = [math]\frac{1}{4}\pi r^3[/math] V" = [math]\frac{1}{2}\pi r^3[/math]

12) Sostituendo i risultati dei punti 10), 11) nell'uguaglianza 9): V = 2(V' + V") si ottiene per il volume della sfera il noto risultato [math]V=\frac{4}{3}\pi r^3[/math][br][br]V. [url=http://www.matefilia.it/maturita/ord2009/ord2009.pdf]esame 2009 - s.ord. - quesito 9[/url]

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IL PROBLEMA DEI VOLUMI

Table of Contents

1.

L'EQUIVALENZA DI DUE PIRAMIDI

1.1.

UNA CONDIZIONE SUFFICIENTE PER L'EQUIVALENZA

2.

IL VOLUME DELLA PIRAMIDE

2.1.

DAL PRISMA ALLA PIRAMIDE

3.

IL VOLUME DELLA SFERA

3.1.

IL VOLUME DELLA SFERA QUAL E'?

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