Im vorausgegangenen Abschnitt 4.9 gingen wir von einem 2-dimensionalen Unterraum [math]\mathcal{U} \in \large\mathcal{ G} [/math] aus, auf welchem die Form [math]\bullet[/math] nicht-ausgeartet ist. Untersucht wurden die Beziehungen zwischen nicht-isotropen Vektoren.[br]In diesem Abschnitt legen wir speziell zwei komplex linear-unabhängige Vektoren [math]\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\in \large\mathcal{ G} [/math] zugrunde, für welche [math] \mathbf\vec{g}_{1}^2\ne 0, \mathbf\vec{g}_{2}^2\ne 0 [/math], und [math]\Delta(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2})=\mathbf\vec{g}_{1}^2\cdot\mathbf\vec{g}_{2}^2 - (\mathbf\vec{g}_{1}\bullet\mathbf\vec{g}_{2})^2\ne 0[/math] gilt.[br]Invariant zugeordnet ist diesen Vektoren eine euklidische Basis [math] \mathbf\vec{p}_{\infty},\, \mathbf\vec{g}_{0},\,\mathbf\vec{p}_{0}[/math] in [i]Normalform[/i]: [br]Man kann die komplexe Skalierung so wählen, dass [math]\mathbf\vec{g}_{1}= w_1\cdot \mathbf\vec{p}_{\infty}-2\cdot \mathbf\vec{p}_{0}\mbox{ mit }w_1=\rho\cdot e^{i\cdot \phi} \in\mathbb{C} ,\;\rho >0\,\;0\le\phi\le\pi[/math] und [math]\mathbf\vec{g}_{2}= w_2\cdot \mathbf\vec{p}_{\infty}-2\cdot \mathbf\vec{p}_{0} \mbox{ mit }w_2 =\frac{1}{w_1}=\frac{1}{\rho}\cdot e^{-i\cdot \phi[/math] gilt.[br]Für die Pole der Vektoren [math]\mathbf\vec{g}_{i}[/math] folgt aus [math]\mathbf\vec{g}_{i}\bullet\mathbf\vec{p}(z)=0[/math], dass [math]z^2=w_i,i=1,2[/math] gilt; die Pole sind also [math]z_1=\sqrt{\rho}\cdot e^{i\cdot\frac{\phi}{2}}[/math] und [math]-z_1[/math] sowie [math]z_2=\frac{1}{z_1}=\frac{1}{\sqrt{\rho}}\cdot e^{-i\cdot\frac{\phi}{2}}[/math] und [math]-z_2[/math].[br]Als Doppelverhältnis berechnet man [math]\mathbf{Dv}\left(z_1,z_2,\infty,0\right)=\frac{z_2}{z_1}=\frac{1}{z_1^2}=\sqrt{\mathbf{Dv}\left(\mathbf\vec{g}_{1},\mathbf\vec{g}_{2},\mathbf\vec{p}_\infty,\mathbf\vec{p}_0\right)}=\frac{1}{w_1}[/math].[br]Mit Hilfe der [i]Invariante[/i] [math]\mu(z_1,z_2):=\mathbf{ln}(\mathbf{Dv}(z_1,z_2,\infty,0)[/math] definieren wir die Möbius-W-Bewegung [list][*][math]\mathbf{}exp\left(t\cdot\mu(z_1,z_2) \right),\; t\in \mathbb{R}[/math].[br][/*][/list][math]\mathbf{}exp\left(t\cdot\mu(z_1,z_2) \right)\cdot z_1[/math] bewegt [math]z_1[/math] nach [math]z_2[/math] für [math]t[/math] von [math]0[/math] bis [math]1[/math],[br]darüberhinaus wird [math]w_1[/math] nach [math]w_2[/math] bewegt (für [math]t[/math] von [math]-0.5[/math] bis [math]1.5[/math]), [br]überraschenderweise liegt auf der W-Kurve auch der Punkt [math]1+0\cdot i[/math] bei [math]t=\frac{1}{2}[/math].[br]Entsprechend werden durch [math]\mathbf{}exp\left(t\cdot\mu(z_1,z_2) \right)\cdot (-z_1)[/math] die Punkte [math]-z_1[/math], [math]-w_1[/math] und [math]-1+0\cdot i[/math] bewegt.[br][br][u][i]Sonderfälle[/i][/u]: Wenn [math]\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}[/math] sich schneidende Geraden repräsentieren, d.h. wenn [math] \mathbf\vec{g}_{1}^2,\;\mathbf\vec{g}_{2}^2 \mbox{ und } \mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{1} [/math] und damit auch die Diskriminante [math]\Delta(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2})[/math] von Null verschiedene reelle Zahlen sind, so wird - mit den obigen Bezeichnungen - durch [math]|\mu(z_1,z_2)|[/math] tatsächlich der [i][b]Abstand[/b][/i] der beiden Möbiuspunkte [math]z_1,z_2[/math] definiert:[br][list][*]Ist [math]\Delta(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2})< 0[/math], so schneiden sich die beiden Geraden [i]außerhalb[/i] der Möbiusquadik. Im obigen euklidischen KOS in Normalform ist das dann der Fall, wenn [math]w_1,w_2[/math] und damit auch [math]\pm z_1,\pm z_2[/math] auf der reellen [math]x[/math]-Achse liegen; [math]|\mu(z_1,z_2)|[/math] ist dann der hyperbolische Abstand von [math]z_1[/math] und [math]z_2[/math], die als Punkte der [i]hyperbolischen[/i] (Halb-) [i]Ebene[/i] [math]x>0[/math]aufgefasst werden.[/*][br][*][math]\Delta(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}) > 0[/math], so schneiden sich die Geraden im Inneren der Möbiusquadrik, [math]z_1[/math] und [math]z_2[/math] können als Punkte der elliptischen Ebene gedeutet werden, [math]\mu(z_1,z_2)[/math] ist rein imaginär, [math]|\mu(z_1,z_2)|[/math] beschreibt als [i]elliptischen Abstand[/i] der beiden Punkte den Winkel zwischen [math]z_1[/math] und [math]z_2[/math], vom Ursprung aus gesehen.[br][/*][/list][br]