Je hebt geleerd te werken met differentiequotiënten en differentiaalquotiënten.[br][i]Een differentiequotiënt[/i] [math]\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[/math] geeft de gemiddelde verandering van [i]y[/i] [i]op een interval [/i]van een grafiek weer. [br][i]Een differentiaalquotiënt [math]\left[\frac{dy}{dx}\right]_{x=a}[/math] [/i]geeft de verandering [i]in een punt[/i] ([i]A[/i]) van een grafiek weer. Het differentiaalquotiënt wordt ook de richtingscoëficiënt van de raaklijn van de grafiek in punt [i]A[/i] genoemd of de helling of de snelheid waarmeey verandert voor [i]x[sub]A[/sub][/i].[br]In plaats van differentiaalquotiënt zeg je ook wel [b]afgeleide waarde[/b].[br][br]Bij de functie [i]a(t) [/i]= 1,2[i]t[sup]2[/sup][/i] kun je een hellingsfunctie [i]a'(t)[/i] (afgeleide) opstellen, waarmee je voor elke [i]t[/i] -waarde de snelheid kunt uitrekenen. Dit deed je in vorige paragraaf door voor een aantal [i]t[/i] -waarden de helling uit te rekenen, je ziet dan al snel een regelmaat. [br][br]Maar deze formule kun je ook als volgt opstellen![br] Bereken het differentiequotiënt op het interval [[i]t[/i], [i]t+h[/i]]:[br][math]\frac{\bigtriangleup a}{\bigtriangleup t}=\frac{1,2\cdot\left(t+h\right)^2-1,2\cdot t^2}{t+h-t}=\frac{2,4th+1,2h^2}{h}=2,4t+1,2h[/math][br]Als je nu [i]h[/i] naar 0 laat naderen, dan wordt 1,2[i]h[/i] verwaarloosbaar klein en houd je 2,4[i]t[/i] over. Dus [i]a'(t) [/i]= 2,4[i]t[/i].[br][i]a'(t)[/i] heet de afgeleide functie of hellingfunctie van [i]a(t).[/i] Deze functie beschrijft voor elke [i]t[/i] de helling van de grafiek van [i]a[/i].[br]   

Bekijk de applet. Verander [i]h[/i] voor een aantal waarden en bekijk wat er gebeurt met de helling als je het interval steeds kleiner maakt. Als [i]h[/i] naar 0 nadert krijg je de raaklijn in [i]t [/i]= 4.[br]In de applet kun je [i]h[/i] de waarde 0 geven. Waarom kan dat in de realiteit niet?[br][br]Dit komt omdat je niet mag delen door 0.

Voor een zeilwagen geldt dat [i]a [/i]= 1,1[i]t[sup]2[/sup][/i], hierin is [i]t [/i]de tijd in seconden en [i]a[/i] de afgelegde afstand in meters.[br]a.   Bereken de gemiddelde snelheid over de eerste 5 seconden.[br]b.   Je gaat nu de snelheid op [i]t [/i]= 5 op drie manieren berekenen. [br][list][*]Bereken het differentiequotiënt met behulp van kleine intervallen, zoals bijvoorbeeld [5,5,001] .[br][/*][*]Bereken het differentiequotiënt op het interval b.v. [5, 5+[i]h[/i]] en vereenvoudig de gevonden uitdrukking voor [i]h [/i]≠ 0 .[br][/*][*]Bereken de snelheid door de formule in je grafische rekenmachine in te voeren en [math]\left[\frac{dy}{dx}\right]_{x=5}[/math] te berekenen.[br][/*][/list]c.   Neem de tabel over en vul hem in.[br][table][tr][td][i]t[/i][/td][td]0[/td][td]1[/td][td]2[/td][td]3[/td][td]4[/td][td]5[/td][/tr][tr][td][i]a'(t)[/i][/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][td] [/td][/tr][/table]d.   Stel de formule op van [i]a'(t)[/i] met behulp van de tabel in de vorige deelvraag.

Voor de afgelegde afstand [i]a [/i]van een karretje dat van een helling rolt geldt: [i]a [/i]= 1,3[i]t[sup]2[/sup][/i] waarin [i]t[/i] de tijd in seconden is.[br]a.   Je kunt zelf een formule afleiden voor de snelheid als functie van [i]t [/i]. Stel eerst het differentiequotiënt op het interval [[i]t, t+h[/i]] op.[br]b.   Als [i]h[/i] de waarde 0 nadert, krijg je de snelheid voor een willekeurige waarde van[i] t[/i] . Geef een formule voor de snelheid als functie van [i]t[/i] .[br]c.   De functie die je hebt gevonden heet de afgeleide van [i]a(t)[/i]. Welke betekenis heeft [i]a'(5)[/i] in dit verband?[br][list][*][i]a'[/i](5) is de gemiddelde snelheid in de eerste 5 seconden;[br][/*][*][i]a'[/i](5) is de afgelegde weg in de eerste 5 seconden;[br][/*][*][i]a[/i]'(5) is de snelheid op tijdstip [i]t [/i]= 5.[br][/*][/list]d.   Hoe groot is [i]a'[/i](5)?[br]e.   Na hoeveel seconden rijdt het karretje 50  km/h? 

[icon]/images/ggb/geomatech/figyelem_bg.png[/icon][br][i]Als er gevraagd wordt "bereken algebraisch of exact" dan moet je de hellingfunctie zelf afleiden. Natuurlijk kun je met de GR altijd je antwoord controleren! [/i]