[b][icon]/images/ggb/toolbar/mode_viewinfrontof.png[/icon][url=https://docs.google.com/spreadsheets/d/1gKxW9G7O550szURpzJLdSpxtVAfJFrt6kjItLmlyh_g/edit?usp=sharing]Grundlagen (Google Sheets - Video)[br][/url][br]X[/b] Vorgabe der [b]Strukturvariablen oder Nichtbasisvariablen x1,x2[/b] . Die [b]Basisvariablen[/b] x[sub]3[/sub] .. x[sub]7[/sub] werden im Start-Tableau als Schlupfvariablen eingetragen"[br](ggf. ändern oder ergänzen).[br][b][br]Tablo, [/b]Gleichungssystem, beginnend mit den [b]Nebenbedingungen f(x)<= b[/b]. Ungleichungen f(x) >= b ggf. "Umdrehen zu" (-1)f(x) <= -b , ergänzt durch die Basisvariablen x[sub]i[/sub] (Schlupfvariablen) zu einer Gleichung. Zum Abschluss die Zielfunktion [b]als Gleichung =0 [/b](Eintrag der Zielfunktion im Tableau wird mit (-1) multipliziert![br][br][math]\large Tablo \, := \, \left\{ 3 \; x1 + 8 \; x2 + 6 \; x3 = 800, 5 \; x1 + 2 \; x2 + x3 = 500, 2 \; x1 + 3 \; x3 = 600, x1 + x2 + x3 = 0 \right\} [/math][br][br]Aus Tablo erzeuge ich das Ausgangstableau für den 1. Simplex-Schritt, [b]Start[/b] (Zeile $5). [br]Ziel ist es durch Umformung der Start-Tableaus in der Zeile der Zielfunktion (Zeile n) ausschließlich positive Werte zu erzeugen. [br][br][b]9: A1:=Start Tableau A1 zuweisen[/b] [br]Einen Simplex-Schritt berechnen durch die Anwendung der Simplex-Schritt-Funktionen [br][table][tr][td][/td][td][color=#660000]Schritt-Berechnung[/color][br][/td][td][color=#660000]Schritt-Funktion[/color][color=#660000][/color][/td][td][color=#660000]Anwendung auf A1[/color][/td][/tr][tr][td]1:[/td][td]Pivotspalte[/td][td]PivotSpl[/td][td]kleinster Koeffizient der Zielfunktion oder Eingabe Pivot-Spalte[/td][/tr][tr][td]2:[br][/td][td]Quotient [br]b-Vektor [/td][td]Qb (b/Ai Pivotspalte)[/td][td]b-Spalte dividiert durch Koeffizienten der Pivotspalte[/td][/tr][tr][td]3:[/td][td]Pivotzeile[/td][td]PivotZle[/td][td]Zeile mit kleinstem Quotient aus Qb[/td][/tr][tr][td]4:[/td][td]Pivot-Zeilen-Element [br]aus Ai[/td][td]Pivot[/td][td]Pivot = a(PivotZle, PivotSpl)[br]dividiere Pivotzeile/ Pivot [/td][/tr][tr][td]5:[/td][td]Nächstes Tableau[/td][td]A2[/td][td]addiere Pivot zu allen anderen Zeilen und erzeuge 0en in der Pivotspalte[/td][/tr][/table][br][b]11: A2 [/b][b]Simplextabelle nach der 1. Umformung von A1[/b][br][br][i]ggf. weitere Schrittfolgen durch Kopieren von A2 nach A1 erzeugen bis die Koeffizienten der Zielfunktion (untere Zeile) positiv sind. Der Button [A2 → A1] kopiert A2 nach A1 - da das Script aber nicht im CAS arbeitet kommt es ggf. zu Rundungsfehler - zu vermeiden durch direktes Kopieren im CAS [br][color=#0000ff]A1:= [Restzeile löschen dann auf AUSGABE-Zeile von A2 klicken]! [/color][br]Über die Eingabe-Boxen Pivot-Zeile/Spalte können vom Standard-Algorithmus abweichende Angaben (z.B. für Phase 1 zum Erreichen einer Start-Basis) eingebracht werden![/i][br][br]Um beim Errechnen der Quotienten (PivotB ) keine undefinierten Werte zu erzeugen setzte ich 10^15 als Dummy-Wert bei der Minimumsuche ein.[br]Ab Zeile (18) Branch and Bound für ein ganzzahliges Optimum.[br][br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_createlistofpoints.png[/icon]Zur JavaScript Umsetzung des [url=https://ggbm.at/fP8cnZbb]Simplex-Algorithmus[/url]

[color=#0000ff]Zielfunktion als Gleichung =0 ans Ende der Liste stellen![/color][br][br]Tablo:={3x1 + 8x2 + 6x3 = 800, 5x1 + 2x2 + x3 = 500, 2x1 + 3x3 = 600, x1 + x2 + x3 = 0}[br][math]Tablo:= \left\{ 3 \; x1 + 8 \; x2 + 6 \; x3 = 800, 5 \; x1 + 2 \; x2 + x3 = 500, 2 \; x1 + 3 \; x3 = 600, +x1 + x2 + x3 = 0 \right\} [/math][br][br][math]Start:= \left(\begin{array}{rrrrrrr}3&8&6&1&0&0&800\\5&2&1&0&1&0&500\\2&0&3&0&0&1&600\\-1&-1&-1&0&0&0&\textcolor{red}{0}\\\end{array}\right)[/math] [size=85]PivotSpl=1, PivotZle=2[/size], [size=85]Pivot {1, 0.4, 0.2, 0, 0.2, 0, 100}[br][/size][i]copy A2 to A1[br][math]A_1 \, := \, \left(\begin{array}{rrrrrrr}0&6.8&5.4&1&-0.6&0&500\\\textcolor{red}{1}&0.4&0.2&0&0.2&0&\textcolor{red}{100}\\0&-0.8&2.6&0&-0.4&1&400\\0&-0.6&-0.8&0&0.2&0&\textcolor{red}{100}\\\end{array}\right)[/math][/i] [size=85]PivotSpl=3, PivotZle=1[/size], [size=85]Pivot {0, 1.26, 1, 0.19, (-0.11), 0[/size], [size=85]92.59}[br][/size][i]copy A2 to EndTab[/i][br][math]A_2 \, := \, \left(\begin{array}{rrrrrrr}0&1.26&\textcolor{red}{1}&0.19&-0.11&0&\textcolor{red}{92.59}\\\textcolor{red}{1}&0.15&0&-0.04&0.22&0&\textcolor{red}{81.48}\\0&-4.07&0&-0.48&-0.11&1&159.26\\0&0.41&0&0.15&0.11&0&\textcolor{red}{174.07}\\\end{array}\right)[/math][br][br][math] \left\{ x1 = 81.48, x2 = 0, x3 = 92.59, max = 174.07 \right\} [/math]

[math]Tablo \, := \, \left\{ 2 \; x1 + x2 = 100, x1 + x2 = 80, x1 = 40, 3 \; x1 + 2 \; x2 = 0 \right\} [br][/math][br]{2x1 + x2 = 100, x1 + x2 = 80, x1 = 40, 3 x1 + 2x2 = 0}[br][br][math]EndTab \, := \, \left(\begin{array}{rrrrrr}0&1&-1&2&0&60\\0&0&-1&1&1&20\\1&0&1&-1&0&20\\0&0&1&1&0&180\\\end{array}\right)[/math][br][br]Im Schlusstableau ist der maximale Wert für die Zielfunktion in der b-Vektor-Spalte (max=180) abzulesen. [br]Die x1=20 und x2=60 Werte stehen ebenfalls in der b-Vektor-Spalte in den Zeilen, in denen die x1, x2 Koeffizienten durch die Umformungen verschoben wurden.[br][br]Beispiel entnommen [url=https://sites.google.com/site/simplexverfahren/begriffe-von-a-bis-z]https://sites.google.com/site/simplexverfahren/begriffe-von-a-bis-z[/url][br]für ausführlichen Kommentierung des Algorithmus siehe dort.[br][table][tr][td]maximize_lp(40*x1+20*x2,[ [br]20*x1+7*x2<=1400, [br]7*x1+10*x2<=1600, [br]8*x1+2*x2<=500, [br]x1<=50, [br]x2<=150][br]), nonegative_lp=true;[br][br][556000/151,[x2=22200/151,x1=2800/151]][br][br][br][/td][td]Maxima via Sage[br]https://sagecell.sagemath.org/?q=vhzjwl[br][br][img]data:image/png;base64,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20*x1+7*x2=1400, 7*x1+10*x2=1600, 8*x1+2*x2=500, x1=50, x2=150, 40*x1+20*x2=0}[br][br]Tablo:={x1+x3+x_4=8, x1+x2+x_5=7, x1+2 x2+ x_6=12, -3*x1-2*x2-2 x3=0}[br]

3 Produkte werden auf 3 Maschinen M1, M2 und M3 hergestellt. Die Belegungszeiten der Produkte auf der Maschine  M1 betragen 2 Minuten für P1, 4 Minuten für P2 und 3 Minuten für P3; M1 besitzt eine freie Kapazität von 1.050 Minuten. [br]Alle Produkte belegen die Maschine M2 mit je einer Minute; die Kapazität dieser Maschine beträgt noch 450 Minuten. [br]Auf der dritten Maschine M3 kann nur P2 gefertigt werden; sie besitzt noch eine Kapazität von 150 Minuten. Die Belegungszeit von P2 auf M3 beträgt 1 Minute. [br]Der Deckungsbeitrag je Stück der 3 Produkte beträgt 50 € , 80 € bzw. 60 €.[br]a) Welche Stückzahlen sind jeweils herzustellen, damit der Gesamtdeckungsbeitrag maximal wird?[br]b) Wie groß ist der optimale Gesamtdeckungsbeitrag und wie hoch sind die freien Kapazitäten der drei Maschinen im Optimum?[br][br]Anwendung der Google Sheet [br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_viewinfrontof.png[/icon][url=https://docs.google.com/spreadsheets/d/1gKxW9G7O550szURpzJLdSpxtVAfJFrt6kjItLmlyh_g/edit?usp=sharing]Grundlagen (Google Sheet - Video)[br][/url]