Si se tienen dos circunferencias [b][color=#0000ff]b[/color][/b] y [b][color=#ff0000]c[/color][/b] tangentes interiores de diámetros [b][color=#0000ff]d = AB[/color][/b] y [b][color=#ff0000]D = AC[/color][/b], que se ha supuesto igual a [b][color=#ff0000]1[/color][/b] en la figura, se puede crear una cadena infinita de circunferencias tangentes exteriormente a una e interiormente a la otra, así como a la anterior y siguiente en la cadena, empezando en cualquier parte. Se trata de una [i]cadena de Pappus[/i]. Si una de ellas tiene como diámetro [b]BC[/b], el área delimitada por las semicircunferencias [color=#1e84cc][b]AB[/b][/color], [b][color=#ff00ff]BC[/color][/b] y [b][color=#ff0000]CA[/color][/b], del mismo lado de la recta [b]AB[/b], constituyen un [i]Arbelos[/i] (del griego [i]cuchillo de zapatero[/i]).[br][br]Para construirlo basta considera la inversión de centro [b]A[/b] y radio [b]AC[/b], por ejemplo, que transforma las circunferencia [b][color=#0000ff]b[/color][/b] y [b][color=#ff0000]c[/color][/b] en las rectas paralelas [b][color=#0000ff]b'[/color][/b] y [b][color=#ff0000]c'[/color][/b], y las circunferencias de la cadena en circunferencias tangentes a ambas rectas, y por tanto con el mismo radio, y entre si. esto permite calcular con facilidad los radios y las posiciones de los puntos de tangencia de las circunferencias de la cadena para determinadas posiciones de la cadena.[br][br]También permite comprobar de un vistazo que las tangentes comunes de las circunferencias de la cadena y las rectas que unen sus puntos de contacto con [b][color=#0000ff]b[/color][/b] y [b][color=#ff0000]c[/color][/b] pasan por un mismo punto [color=#ff7700][b]G[/b][/color]. Este punto [b][color=#ff7700]G[/color][/b] es el inverso del simétrico de [color=#1e84cc][b]A[/b][/color] respecto a la parlela media [b][color=#ff7700]g'[/color][/b] de [b][color=#ff0000]c'[/color][/b] y [b][color=#0000ff]b'[/color][/b], puesto que las circunferencias que pasan por [color=#1e84cc][b]A[/b][/color] y [color=#ff7700][b]G'[/b][/color], como las que pasan por los puntos de contacto, se transforman en rectas que pasan por [b][color=#ff7700]G[/color][/b]. Los puntos de contacto de las circunferencias de la cadena se hllan en la circunferencia [b][color=#ff7700]g[/color][/b] inversa de la recta [b][color=#ff7700]g'[/color][/b], y que tiene como radio la media armónica de los radios de [b][color=#0000ff]b[/color][/b] y [b][color=#ff0000]c[/color][/b].[br][br]Si r[sub]n[/sub], r[sub]n+1[/sub], r[sub]n+2[/sub] y r[sub]n+3[/sub] son los radios de cuatro circunferencias consecutivas de la cadena, se tiene que: [math]\frac{1}{r_n}+\frac{3}{r_{n+2}}=\frac{3}{r_{n+1}}+\frac{1}{r_{n+3}}[/math] [br]Si se expreas en función de las curvaturas, [b]u[sub]n[/sub] = 1/r[sub]n[/sub][/b], se puede expresar como: u[sub]n+3[/sub] = 3u[sub]n+2[/sub] - 3u[sub]n+1[/sub] + u[sub]n[/sub]. Esto es una recurrencia lineal homógenea, que tiene como única raíz característica (triple) q = 1. Su solución se corresponde entonces con un polinomio de 2º grado en [b]n[/b]. En definitiva, esta relación solo nos dice que el radio de las circunferencias varía con el inverso del cuadrado de su número de orden.[br][br]Considerando los radios de cada circunferencia de la cadena y de las circunferencias [b][color=#0000ff]b[/color][/b] y [b][color=#ff0000]c[/color][/b], se ve fácilmente también que los centros se hallan en una [b][color=#ff00ff]elipse[/color][/b] de focos los centros [b][color=#0000ff]B[/color][/b] y [b][color=#ff0000]C[/color][/b] de las circunferencias [b][color=#0000ff]b[/color][/b] y [b][color=#ff0000]c[/color][/b], y de eje mayor [b][color=#ff00ff]R + r[/color][/b], que tiene vértices principales en [b][color=#1e84cc]A[/color][/b] y en el punto medio de [b][color=#0000ff]B[/color][/b] y [b][color=#ff0000]C[/color][/b].

Si la disposición de las circunferencias de la cadena es simétrica, [b][color=#38761D]t = 0º[/color][/b] en la figura, la circunferencia de centro [b][color=#1e84cc]A[/color][/b] ortogonal a una cualquiera de la parte superior, también lo es a su simétrica de la parte inferior. Entonces una inversión de centro [b][color=#1e84cc]A[/color][/b] con tal circunferencia de puntos dobles, deja invariantes a las circunferencias dadas, y transforma las circunferencias que las separan en la parte derecha de la cadena en una cadena rectílinea de circunferencias iguales.[br][br]Si [b]BC[/b] es el diámetro de una de estas circunferncias, llamándola c[sub]0[/sub] y c[sub]1[/sub], c[sub]2[/sub], ..., c[sub]n[/sub] a las que le siguen en la parte superior, la distancia del centro de c[sub]n[/sub] al eje es [b]n·d[sub]n[/sub][/b], siendo d[sub]n[/sub] el diámetro de c[sub]n[/sub].[br][br]Si [b]BC[/b] es tangente a dos circunferencias de la cadena, numerándolas a partir de 1, el centro de c[sub]n[/sub] se halla a una distancia [b](n - 1/2)d[sub]n[/sub][/b] del eje.