Vogliamo ora capire come trovare le coordinate di un punto particolare della parabola: il suo vertice. Piuttosto che imparare a memoria delle formule, cerchiamo di ragionare conoscendo le sue caratteristiche. La caratteristica più importante del vertice è che per il vertice passa un asse di simmetria della parabola, cioè una retta rispetto la quale la metà destra della parabola "si specchia" in quella sinistra.[br][br]Vediamo nella seguente animazione come questo può aiutarci a trovare, data una parabola generica di espressione [math]\large{y=ax^2+bx+c}[/math] la formula per la coordinata [math]\large{x}[/math] del suo vertice: [math]\large{x_V=-\frac{b}{2a}}[/math].

[size=100][size=150][color=#ff0000]UNA FORMULA GENERALE PER LA y DEL VERTICE[br][/color][/size][/size]Abbiamo visto che il modo più semplice per trovare la [math]y[/math] del vertice è sostituire il valore della sua [math]x[/math] nella parabola e trovare l'ordinata corrispondente. [br][br]Se invece di sostituire un valore specifico di una parabola precisa, sostituiamo [i][color=#ff0000]la formula generale di [math]x_V[/math], troveremo la formula generale di [math]\large{y_V}[/math][/color][/i].[br][br]In altre parole sappiamo che in una parabola generica [math]\text{y=ax^2+bx+c}[/math] la coordinata [math]x_V[/math] del vertice si ottiene facendo [math]x_V=-\frac{b}{2a}[/math]. Sostituendo questo valore generico nell'equazione della parabola troviamo che la sua corrispondente [math]y_V[/math] vale:[br][br] [math]\large{y_V=a\textcolor{red}{\left ( -\frac{b}{2a} \right )}^2+b\textcolor{red}{\left ( -\frac{b}{2a} \right )}+c}[/math][br][br]svolgendo i conti otteniamo:[br][br] [math]\large{y_V=a \cdot \frac{b^2}{4a^2} -\frac{b^2}{2a} +c \quad = \quad \frac{b^2}{4a} -\frac{b^2}{2a} +c \quad = \quad\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a} \quad \rightarrow y_V= \frac{-b^2+4ac}{4a}}[/math][br][br]al numeratore possiamo riconoscere il [math]\Delta[/math] cambiato di segno, quindi possiamo dire che l'espressione della [math]y[/math] del vertice è [br][br] [math]\large{y_V= -\frac{\Delta}{4a}}[/math][br][br][b][color=#0000ff]NOTA:[/color][/b] A noi questa formula non servirà molto, perché potremo sempre calcolare [math]\large{x_V}[/math] usando la sua formula e poi sostituendo il risultato nell'equazione della parabola, ma il procedimento che abbiamo usato per ricavarla, cioè [b]ragionare sulle equazioni generali[/b], è utile per imparare un approccio che potrà sempre esserci utile. Il prossimo paragrafo ne è un esempio significativo.[br][br][size=150][color=#ff0000]PROPOSTA DI ESERCIZIO[/color][/size][br]Un altro modo per ricavare le coordinate generiche del vertice (quindi la formula generale per esse) sarebbe potuto essere considerare la parabola [b]generale[/b] [math]\large{y=ax^2+bx+c}[/math] ed applicare [b]ad essa[/b] il metodo di completamento del quadrato. [br][br][b]Provaci![/b] In questo modo dovresti trovare di nuovo [b]l'espressione generale[/b] della traslazione che ha subito la parabola, cioè delle coordinate del "nuovo" vertice, che abbiamo ottenuto al paragrafo precedente.[br][br][b][size=150][color=#0000ff]SOLUZIONE[/color][/size][/b] (da guardare DOPO aver provato)[br]Isolo i termini in [math]\large{x}[/math] portando [math]\large{c}[/math] a primo membro e raccolgo [math]\large{a}[/math] per mettere in evidenza il quadrato...[br][math]\Large{y=ax^2+bx+c\quad \rightarrow \quad y-c=ax^2+bx\quad \rightarrow \quad y-c=\textcolor{#007700}{a}\left (x^2+\frac{b}{a}x \right)}[/math][br][br]...metto in atto i soliti trucchi per far apparire un quadrato di binomio a secondo membro, equilibrando al primo quando necessario... [br][math]\Large{y-c=\textcolor{#007700}{a} \left (x^2+\textcolor{blue}{2}\cdot \frac{b}{\textcolor{blue}{2}a}\cdot x \right )\quad \rightarrow \quad y-c \textcolor{red}{+ \textcolor{#007700}{a} \textcolor{black}{\cdot}\left (\frac{b}{2a} \right )^2 }=\textcolor{#007700}{a} \left [x^2+\textcolor{blue}{2}\cdot \frac{b}{\textcolor{blue}{2}a}\cdot x \textcolor{red}{\ + \left (\frac{b}{2a} \right )^2 } \right ]}[/math][br][br]a primo membro sviluppo i conti, al secondo riconosco il quadrato di binomio[br][br][math]\Large{y-c \textcolor{red}{+ \textcolor{#007700}{a} \textcolor{black}{\cdot}\frac{b^2}{4a^2}}=\textcolor{#007700}{a} \left (x + \frac{b}{2a} \right )^2 \quad \rightarrow \quad y-c \textcolor{red}{+ \frac{b^2}{4a}}=\textcolor{#007700}{a} \left (x + \frac{b}{2a} \right )^2 }[/math][br][br][math]\Large{y + \textcolor{red}{\frac{b^2-4ac}{4a}}=\textcolor{#007700}{a} \left (x + \frac{b}{2a} \right )^2 }[/math][br][br]Infine metto in evidenza, nella forma finale, le coordinate del vertice[br][br][math]\Large{y - \textcolor{purple}{\frac{4ac-b^2}{4a}}=\textcolor{#007700}{a} \left [x - \textcolor{purple}{\left (- \frac{b}{2a}\right )} \right ]^2 }[/math][br][br]Questa equazione è della forma[br][math]\Large{y - \textcolor{purple}{y_V}=\textcolor{#007700}{a} \left (x - \textcolor{purple}{x_V} \right )^2 }[/math][br][br]dove [br][br][math]\Large{\begin{cases}\textcolor{purple}{y_V} = \textcolor{purple}{\frac{4ac-b^2}{4a}}\\\textcolor{purple}{x_V}=\textcolor{purple}{- \frac{b}{2a}}\end{cases}}[/math][br][br]Quindi è la parabola [math]\large{y=\textcolor{#007700}{a}x^2}[/math] traslata con il vertice in [math]\large{\textcolor{purple}{V\left ( - \frac{b}{2a},\ \frac{4ac-b^2}{4a} \right )}}[/math].[br]