大数の法則と中心極限定理

Bunryu Kamimura, Apr 2, 2017

ジオジェブラにはいくつかの乱数がある。 そして、その乱数を使うためには、sequenceコマンドが必要だ。 sequenceを使えるようになると、ジオジェブラの活用範囲が広がる。 というわけで、このコマンドの使い方と中心極限定理を一緒に学んでいく。 なおこの続きは、統計（χ二乗検定）へ [url]https://www.geogebra.org/m/uuZuRz8P[/url]

Table of Contents

  1. 大数の法則から中心極限定理へ
    1. 統計の指し示し
    2. 大数の法則
    3. 一様分布の大数の法則から中心極限定理へ
  2. 一様分布の中心極限定理
    1. 乱数による中心極限定理
    2. 中心極限定理
    3. 分散の二通りの計算
    4. 一様分布の平均
    5. 一様分布の分散
    6. ジオジェブラの乱数の傾向
  3. 分散と最小二乗法
    1. 回帰直線（最小二乗法）
    2. 最小二乗法の計算
    3. 国語と数学のテストの共分散
    4. 分散の意味
    5. 絶対値の平均と２乗の平均を比べる
  4. 確率と統計
    1. ツキという現象
    2. ランダムウオーク
    3. モンテカルロ法
    4. 相加平均と相乗平均
    5. 重心と平均の違い
    6. 多角形の平均についての定理
    7. 中点多角形の頂点の平均
    8. 平均の図的研究
    9. 頂点の重心（平均）と多角形の重心
    10. 立体の平均
    11. 四角錐の二つの重心

1.

大数の法則から中心極限定理へ

大数の法則は、自然だと思うけど、 それを見える形で表現するには、乱数を用いるといい。 その乱数は一様分布になるのを用いる。 散らばっている乱数が、だんだんと・・・

  • 1. 統計の指し示し
  • 2. 大数の法則
  • 3. 一様分布の大数の法則から中心極限定理へ

1.1.

統計の指し示し

母集団からサンプルを取り出し、そのサンプルを調べることで母集団を予想するというのが大きな目標。難しいのは分散の予想。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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2.

一様分布の中心極限定理

この定理を探るために、具体的に一様分布を使った。 その時、分散についての不思議な性質を知った。 そのわけが、 「高校数学の美しい物語」 [url]http://mathtrain.jp/centrallimit[/url] にわかりやすく書いてあった。 このサイトは、主張→例題→証明 というデザインで構成されていてとてもわかりやすい。 この例題をジオジェブラで行うと、もっとわかりやすい。

  • 1. 乱数による中心極限定理
  • 2. 中心極限定理
  • 3. 分散の二通りの計算
  • 4. 一様分布の平均
  • 5. 一様分布の分散
  • 6. ジオジェブラの乱数の傾向

2.1.

乱数による中心極限定理

nをクリックしてからカーソルで動かすと、一個ずつの軌跡が出る。途中で、計算速度がグッと落ちたら、手で動かす。分散がなぜこの値に近づくのか不思議だ。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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3.

分散と最小二乗法

分散はなぜ大事なのだろうか？ 例えば、回帰直線を求めるときの最小二乗法で探ってみる。 理由は 「高校数学の美しい物語」で [url]http://mathtrain.jp/leastsquares[/url] ここでは、コマンドの使い方で体感（体解）しよう。

  • 1. 回帰直線（最小二乗法）
  • 2. 最小二乗法の計算
  • 3. 国語と数学のテストの共分散
  • 4. 分散の意味
  • 5. 絶対値の平均と２乗の平均を比べる

3.1.

回帰直線（最小二乗法）

Ｇを動かして二乗の和が最小になるところを探そう。また、和と二乗の和は同じようには動かないことがあることも確かめよう。（最初、直線に垂直な長さで計算してたら、回帰直線FitLineが最短にならなかった。この図のように距離を量らなければならない。）では、この回帰直線はどのようにしたら求めることができるのだろうか？
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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4.

確率と統計

確率は表現するのが難しいが、乱数データ（リスト）を 用いると、使いやすくなるし、グラフにもしやすくなる。 そういうデータ処理にもジオジェブラは有効だ。

  • 1. ツキという現象
  • 2. ランダムウオーク
  • 3. モンテカルロ法
  • 4. 相加平均と相乗平均
  • 5. 重心と平均の違い
  • 6. 多角形の平均についての定理
  • 7. 中点多角形の頂点の平均
  • 8. 平均の図的研究
  • 9. 頂点の重心（平均）と多角形の重心
  • 10. 立体の平均
  • 11. 四角錐の二つの重心

4.1.

ツキという現象

アニメーションをクリックするとｋが動きます。ｎはコインの裏表の出るｎコの乱数リスト。ｋは巾ｉ回での表の出る確率で青。橙は全体の確率。これを見ると連続１００回の巾でもツキという現象があることがわかる。Sum[list1, k ]ーSum[list1, k - i]でｉコの確率が出る。それを点にしたもの。
– Bunryu Kamimura

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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4.9.

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4.10.

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4.11.

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