[br][br]Uma sequência de funções [br][br][math]f_n:X\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},n\in\mathbb{N}[/math][br][br]converge simplesmente ou pontualmente para uma função [math]f:X\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/math] se para cada [math]x\in X[/math],[br]a sequência numérica [br][br][math]\left\{x_n\right\}=\left\{f_n\left(x\right)\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math],[br][br]converge para [math]f\left(x\right)[/math].[br][br]Notação:[br][br][math]f_n\rightarrow f[/math] ,quando [math]n\rightarrow\infty[/math].[br][br]Como exemplo, observe a convergência pontual da sequência de funções[br][br][math]\left\{f_n\left(x\right)\right\}_{n\in\mathbb{N}}=\left\{x^n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math], no intervalo [math]\left[0,1\right]\subset\mathbb{R}[/math].
Para [math]a=0.5[/math], a sequência de numérica [math]\left\{f_n\left(a\right)\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math] converge para:[br][br][size=85]Dica: Escolha o valor de [math]a[/math] e faça o valor de [math]n[/math] crescer, observe o que acontece com o ponto [math]P[/math].[/size]
Para [math]a=1[/math], a sequência numérica [math]\left\{f_n\left(a\right)\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math] converge para qual valor e por quê?
Converge para 1, pois a sequência torna-se constante [math]\left\{f_n\left(1\right)\right\}_{n\in\mathbb{N}}=\left\{1^n\right\}_{n\in\mathbb{N}}=\left\{1\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math].
Observando a convergência para todos os pontos do intervalo [math]\left[0,1\right][/math], é possível inferir que a sequência de funções [math]\left\{f_n\left(x\right)\right\}_{n\in}[/math]converge, neste intervalo, para a função qual função? Essa função é contínua?
[math]f_n\rightarrow f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}0,\text{ se }0\le x<1\\1,\text{ se }x=1\text{ }\end{matrix}\right.[/math], que trata-se de uma função descontínua no intervalo [math]\left[0,1\right][/math]