2ºESO. Cuerpos Geométricos y Volúmenes
Table of Contents
- Cuerpos geométricos
- Sólidos Platónicos
- Cubos y baldosas
- Volumen de Cuerpos Básicos
- Superficie de Cuerpos Básicos
- Volumen y Superficie de Cuerpos
- Estrellas y poliedros. Construye la tuya
- Área y volumen de un prisma
- Volumen de cuerpos geométricos sencillos
- Área de cuerpos geométricos sencillos
- Volumen y área de cuerpos geométricos sencillos
- ¿Cuántos cubitos hay? (x5). Volumen
- Cuerpos de revolución
- Superficies de Revolución
- Superficies de revolución con desarrollo plano
- Árbol de Navidad
- ¿Cómo se obtienen las fórmulas?
- Volumen y superficie del cilindro y el cono
- Volumen y superficie de la esfera
- Volumen de la pirámide
- Cavalieri's Principle
- Ampliación
- Fórmula de Euler y Poliedros "con agujeros"
- Escaleras infinitas. Ilusión óptica
- Icosaedro Relleno
- Teselación del espacio con el Octaedro Truncado
- Dodecaedro y endododecaedro (piroedro)
- Composición de dos Rotaciones de un Tetraedro
- Cubos y Rampas
- Bóveda de Crucería
- Bóvedas de cañón y de arista
Sólidos Platónicos
Instrucciones
[list][*]Podemos mover los deslizadores para ver el desarrollo plano de cada sólido platónico.[/*][*]Pulsando en la tabla, se muestra u oculta la información sobre sus elementos (vértices, aristas, caras).[/*][*]Pulsando sobre cada sólido, se inicia o detiene su movimiento de giro.[/*][*]Arrastrando con el botón derecho, podemos girar la vista 3D.[br][/*][/list]
Superficies de Revolución
Volumen y superficie del cilindro y el cono
¿Sabías que las fórmulas para el volumen y la superficie del cilindro y el cono se pueden obtener a partir del prisma y la pirámide? En esta actividad veremos cómo.[br]Si te fijas, procederemos de una forma que será muy habitual en matemáticas:[br][list][*]ir deduciendo fórmulas para elementos más sencillos e irlas utilizando para conseguir los de mayor complejidad.[/*][*]por eso, aquí comenzamos con [br][list][*]el polígono regular, que luego utilizamos para el círculo[/*][*]a su vez, el círculo para deducir la del cilindro[/*][*]y la del cono, utilizando también la fórmula para la pirámide ([url=https://www.geogebra.org/m/ntg8fmyk]ver aquí[/url] cómo se deduce).[/*][/list][/*][*]incluso, más adelante, podremos usar estas fórmulas para deducir las de la esfera (en [url=https://www.geogebra.org/m/ke8jf25r]esta actividad[/url]).[br][/*][/list]También, te recomendamos [b]practicar[/b] los cálculos con situaciones reales y ejercicios en los que intervienen estas fórmulas. Para ello, puedes visitar [url=https://www.geogebra.org/m/nhgg2kz6]esta actividad[/url],
Instrucciones
[list][*]En las opciones de la derecha, elige la fórmula que te interese.[/*][*]Pulsa en cada paso para ver la descripción.[/*][*]Podemos modificar el número de lados para ver cómo, con "muchos lados", el cuerpo es "casi" un cuerpo redondo.[br][/*][/list]Recuerda que podemos orientar la vista 3D arrastrando con el botón derecho del ratón.
Nuestro turno
Utilizando el applet, hemos visto cómo calcular tanto el volumen del cilindro como el del cono, así como su superficie.[br]Para ello, hemos comparado con prismas y pirámides de base un polígono regular. [br]Pero... [br][list][*]¿hasta qué punto nos valen estas aproximaciones?[/*][*]¿será verdad que tres conos llenan exactamente un cilindro?[br][/*][/list]Es el momento de comprobarlo "empíricamente" (de forma práctica). [br]Lo haremos [b]trabajando en grupos[/b] de 3-4 personas. [br][br][b]PASO 1[/b][br]Cada grupo creará:[br][list=1][*]un prisma de base un polígono regular (por ejemplo 5 o 6 lados) y la altura que queramos[/*][*]con esa misma base y altura, una pirámide.[/*][*]un cilindro cuya base tenga el mismo diámetro que las bases anteriores, y la misma altura que habíamos elegido.[/*][*]Un cono con la misma base y altura que el cilindro.[br][/*][/list]Para crear las plantillas recortables, podemos utilizar cualquier web. Por ejemplo, [url=https://www.templatemaker.nl/es]✂Templatemaker[/url] es muy cómoda porque permite elegir el tamaño de los diámetros.[br][size=85](*) También se podría capturar la pantalla del applet (arrastrando previamente la vista gráfica con el botón derecho, para una visión cenital), pero perderíamos la posibilidad de establecer las dimensiones exactas[/size].[br][b]¡Importante![/b] dejaremos las tapas de la base sin pegar, para poder llenar y vaciar nuestras figuras.[br][br][b]PASO 2[/b][br]Utilizaremos arroz, arena, bolitas de papel o similar para rellenar las figuras.[br]Bastará comprobar si, efectivamente, necesitamos las mismas cantidades para llenar unos u otros.[br][br]Comprobar también que vertiendo tres veces el contenido del cono en el cilindro, lo rellenamos completamente.[br][br]Además, haremos las comprobaciones utilizando las fórmulas (las medidas las tenemos, porque las hemos elegido nosotros para crear el modelo).[br]Ten en cuenta que como nuestro polígono no tiene muchos lados, habrá cierta diferencia entre cilindro y prisma, y entre cono y pirámide.[br][br][b]PASO 3[/b][br]Cada grupo anotará los resultados obtenidos en las diferentes mediciones y documentará el proceso mediante algunas fotografías de las construcciones.[br][br]Además, anotaremos las mediciones de los correspondientes errores absolutos y relativos (si no conoces lo que son, puedes [url=https://www.geogebra.org/m/ehza6zuc]consultarlo en esta actividad[/url]. ¡Es sencillo!).[br][br]Todos estos documentos se entregarán al profesor/a como parte de la evaluación grupal.
Fórmula de Euler y Poliedros "con agujeros"
La fórmula de Euler nos dice que, todos los poliedros que "no tienen agujeros", sorprendentemente cumplen una misma igualdad, no importa la forma que tengan:[br][i][b] Vértices - Aristas + Caras = 2[/b][/i] [br]Pero, [br][list][*]De verdad ¿un poliedro puede tener agujeros? [/*][*]¿Habrá alguna otra [i]fórmula mágica[/i] para V - A +C?[/*][/list]
Demostración/justificación intuitiva de la fórmula de Euler
- El resultado es válido para poliedros que puedan "inflarse" hasta convertirse en una esfera (por tanto no para los que tienen agujeros): [br]- Una vez inflado y convertido en esfera, bastará probarlo para la propia esfera (dividida en varias caras mediante aristas). [br]Por inducción:[list][*][b]Una sola arista[/b], que sale y vuelve a un mismo vértice:[br] V=1, A=1, C=2, así que V-A+C =1-1+2 =2. La fórmula se cumple.[/*][*][b]Al añadir un [/b]único [b]vértice[/b] sobre una arista, tendremos un vértice más, pero la arista queda dividida en 2, así que hay una arista más. No se añaden caras. Por tanto, la fórmula sigue siendo válida al añadir cualquier número finito de vértices sobre las aristas, en cualquier momento.[/*][*][b]Al añadir una nueva arista[/b] conectando dos vértices ya existentes (creados, por ejemplo en el paso anterior):[br]- no se introducen vértices nuevos,[br]- hay una arista más, pero que divide una cara en dos, con lo que hay una cara más.[br]- La fórmula V-A+C=2 sigue siendo válida.[/*][/list][br]Con este proceso podremos recrear [b]cualquier división de la esfera[/b] en caras mediante aristas y se cumplirá que [i][b]V-A+C=2[/b][/i]. [br]Por ello, [b]cualquier poliedro[/b] (no necesariamente convexo) [i][b]que pueda "inflarse"[/b][/i] hasta hacerse una esfera también cumple esta fórmula, pues el número de vértices, caras o aristas no cambia al deformar la figura.
¿Y cuando hay agujeros?
Al contar, hay que tener cuidado con los "agujeros":[br]Si hacemos un agujero en una cara, el [b]resultado no es un polígono, [/b]así que no podemos considerarlo una cara sino la unión de varias, y hay que rehacer los cálculos.
[list][*]Un cuadrado sin agujeros tiene: 1 cara, 4 vértices y 4 aristas. Para el recuento de V-A+C, aportaba "1"[i][size=85](no sale 2 porque esto no es un poliedro; habría que cerrarlo con más caras, haciendo un cubo)[/size][/i][br][br][/*][*][b]Al hacer un agujero[/b], [b]no resulta[/b] una figura de 1 cara, 8 vértices y 8 aristas, así que para el recuento V-A+C no resulta 8-8+1=1. Hay que considerar[/*][*]Una figura de 4 caras, 8 vértices y 12 aristas, que para el recuento V-A+C resulta 8-12+4=0. [br][b]¡Se pierde [i]1[/i] en el recuento![/b][/*][/list][br]Cada agujero de un poliedro afecta a dos caras (la de entrada y la de salida), así que con cada agujero perdemos "2" del recuento total. Por eso, la fórmula para poliedros con "agujeros" resulta[br][i][b] Vértices - Aristas + Caras = 2 - 2*nºagujeros.[/b][/i]